Angesichts eines Turniers mit 2 ^ N $-------------------------------------------------------------------------enz

Question

Also ist ein Turnier nur ein komplettes Regiagramm, glaube ich.

Ich habe Schwierigkeiten, dieses Problem zu beweisen.Ich weiß, dass es jedoch induktion ist.ich dachte Der Basisfall ist $ 2 ^ 1 $ Ecken, und daher haben wir ein Subturnier von 1 + 1-Scheitelpunkten, das hält.

Dann müssen wir in unserem Induktionsschritt $ 2 ^ {n + 1} $ zeigen.Aber ich bin mir nicht sicher, wie ich mich nähern kann.Jede Idee wären extrem geschätzt.

Answer 1

ein Turnier ist ein schlanskoles leitendes Graph $ g= (v, e) $ in dem für jedes Paar von unterschiedlichen Scheitelpunkten $ u, v \ in v $ , genau einen von $ (u, v) $ und $ (V, U) $ ist in $ E $ .

Der Nachweis Ihres Anspruchs erfolgt durch Induktion.

für $ n= 0 $ Der Anspruch trifft zu, da ein Turnier $ g $ mit $ 2 ^ 0= 1 $ Scheitelpunkte sind trivial acyclisch und sein einziges Unterturnier mit $ 0 + 1= 1 $ Scheitelpunkte sind $ g $ selbst.

Nehmen Sie an, dass der Anspruch auf einige $ N \ GE 0 $ hält, und betrachten Sie ein Turnier $ g= ( V, e) $ mit $ | v |= 2 ^ {n + 1} $ . Wählen Sie einen beliebigen Scheitelpunkt $ v \ in V $ , und Partitionieren Sie die Scheitelpunkte von $ v \ setminus \ {v \} $ in zwei Sätze $ l={u \ in v \ setminus \ {v \ \ in viN (u, v) \ in E \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ und $ r={u \ in v \ setminus \ {v \ \ \ \ mid (v, u) \ in E \} $ . Einer von $ L $ und $ R $ muss mindestens $ \ link \ lceil \ frac {| v \ setminus \ {v \ \} |} {2 \ \ \ \ RECHTS \ RCEIL=link \ lceil \ frac {2 ^ {n + 1} - 1} {2} \ RECHTS \ RCEIL= 2 ^ N $ Scheitelpunkte. Willior auswählen $ 2 ^ N $ Scheitelpunkte aus diesem Set und rufen Sie den Satz der ausgewählten Scheitelpunkte $ s $ an . Durch induktive Hypothese $ S $ enthält ein azyklisches Sub-Turnier $ s '$ der Größe $ n + 1 $ , und zwar entweder $ s '\ Subseteq S \ SubsetEQ L $ oder $ s '\ Subseteq S \ SubseteQ R $ , wir haben den $ s' \ cup \ {v \} $ Auch azyklisch ist . Dies beweist den Anspruch seit $ | s '\ cup \ {v \ \} |= | S '| + 1= n + 2 $ .