在coq上：当我们有多个变量时，为什么只证明一个归纳后证明就完成了？

Question

所以我正在学习coq。另外我还发现了关联性的证明 forall (a b c : nat)

显然当我们这样做时 induction a. 后 intros a b c., ，它创建了 2 个子目标

之后我们只需证明两个子目标的两边是等价的，证明就完成了。

所以我只是想知道为什么我们不需要这样做 induction b. 和 induction c. 完成证明？为什么只对 a 能否完成证明？

或者换句话说，为什么在返回证明的函数中，我们只是得到 b 和 c 免费”？从建设性的角度来看，我们不需要像应用两次双感应这样的东西吗？

Answer 1

你不 有 通过归纳法来证明事物。例如，你可以证明 $\forall n :\mathbb{N} \,.\, n = n$ 没有 通过应用反身性进行归纳。在你的证明中，我们使用归纳法 $a$, ， 但是之后 我们不需要 使用归纳法 $b$ 和 $c$ 因为我们可以简单地用其他方法来完成证明。我们 可以有 使用感应 $b$ 和 $c$, ，你应该尝试这样做，看看不必要的归纳法应用如何使你的证明变得更长且不太清晰。

附：这与建设性完全无关。