减少三重奏代表的3色问题

Question

一群学生分为三人 - 3人成员。每个学生都可以分配给更多的三重奏。我们想通过选择恰好一个成员来分配他们的代表。是这样的分配吗？

我的目标是使用多项式时间减少来转换图形的3彩色。但是，我卡在正确的代表上。

• 如果每个顶点是不同的学生，并且边缘表示在同一三重奏中，如何分开三个TRIOS？

• 如果每个节点代表一个三重奏，则可能是边缘的明智含义？

我怀疑，由于一个4-clique没有足够的3次着色（这也可能意味着4个与同一三个成员没有可能的代表性分配的4个TRIOS），后者选项可能会更加明智，但我不是确定如何继续进行这种减少证明。

Answer 1

let $ g=（v，e）$ 是 $ 3 $ 着色的一个实例。构造一个实例 $ \ phi $ 3-SAT 如下。

• 对于每个顶点 $ v \ in v $ create $ 3 $ 变量 $ v_a，v_b，v_c $ 表示 $ 3 $ $ v的颜色$ 。
• 对于每个顶点 $ v \ v $ 创建条文 $（v_a \ vee v_b \ vee v_c）\楔（\ overline {v_a} \ vee \ overline {v_b}）\ wedge（\ overline {v_b} \ vee \ overline {v_c}）\ wedge（\ overline {v_c} \ vee \ overline {v_a}）$ 。这为 $ v $ 必须由恰好颜色彩色。
• 对于每个边缘 $（u，v）\ in e $ 创建条文 $（\ overline {v_a} \ vee \ overline {u_a}）\ wedge（\ overline {v_b} \ vee \ overline {u_b}）\ wedge（\ overline {v_c} \ vee \ overline {u_c}）$ 。这可确保 $ u $ 和 $ v $ 不能给出相同的颜色。

显然，可以在poylnomial-time中进行上述减少，并确保对 $ \ phi $ iff有一个3彩色的令人满意的分配。<跨越类=“math-container”> $ g $ 。

现在将实例 $ \ phi $ 3-sat中的一个相同的实例 $ \ phi' $ < / span> 1-in-3星期六（见这里 1-in-3 SAT的定义和3-SAT的减少）。

因此，我们所示，3色是多项式时间可将1-In-3坐在饱满。 事实证明，1-in-3 SAT正是您的问题：学生集是一组变量，对于每个子句 $ \ {x_i，x_j，x_k \} $ 您创建一个包含的学生 $ x_i $ ， $ x_j $ ，以及 $ x_k $ 。将变量设置为true对应于选择相应的学生作为领导者。