考虑到$ N $的最坏情况下线性时间模糊的选择，其中$ t（n）= o（1）$和$ t（n）\ leq cn $

Question

我正在通过cormen等来通过文本介绍算法。 al。在我遇到的重复关系中，用于分析线性选择算法的时间复杂性，我认为很少有问题可能相对于 $ n $ ，其中一些东西可能不匹配 $ t（n）$ 的输入大小是假设 $ o（1）$ 和 $ cn $ 以替换方法。

文本的详细信息如下：

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我们现在可以为算法选择的最坏情况运行时间 $ t（n）$ 选择复发。步骤1,2和4拍摄 $ o（n）$ 时间。 （步骤2由 $ o（n）$ 插入量排序的 $ o（1）$ < / span>步骤3需要时间 $ t（\ lceil n / 5 \ rceil）$ ，步骤5需要the time $ t（7n / 10 + 6）$ ，假设t在单调上增加。 我们做出了假设，这似乎不会在第一次下载，那些少于 $ 140 $ 元素需要 $ o（1）$ 时间;魔术常量 $ 140 $ 将很快清楚。 $ ^ \ dagger $ 我们可以获得复发

$$ t（n）\ LEQ \ BEGIN {案例} o（1）＆\ quad \ text {if $ n <140 $ $ ^ \ ddagger $} \\ t（\ lceil n / 5 \ rceil）+ t（7n / 10 + 6）+ o（n）＆quad \ text {if $ n \ geq 140 $ $ ^ \ | $} \\ \结束{案例} $$

我们显示运行时间是用替换线性的。更具体地说，我们将显示 $ t（n）\ leq cn $ 对于某种适当的常量 $ c $ 和 所有 $ n> 0 $ 。我们首先假设 $ t（n）\ leq cn $ 对于某种适当的常量 $ c $ 所有 $ n <140 $ $ ^ {\匕首\匕首} $ ;如果 $ c $ 足够大，则该假设持有。我们还选择一个常量的a，使得 $ o（n）$ 术语中描述的函数（其描述了算法的运行时间的非递归分量）通过 $ n> 0 $ 以上界面界定。将这种归纳假设替换为复发的右侧

$$ t（n）\ leq c \ lceil n / 5 \ rceil + c（7n / 10 + 6）+ a $$

$$ \ LEQ CN / 5 + C + 7CN / 10 + 6C + AN $$

$$= 9cn / 10 + 7c + $$

$$= cn +（ - cn / 10 + 7c + a）。$$

是最多 $ cn $ 如果

$$ - CN / 10 + 7C + AN \ LEQ 0. \标签1 $$

$$ \ iff c \ geq 10a（n /（n-70））\ quad \ text {当n> 70} $$

时

因为我们假设 $ n \ geq 140 $ $ ^ {\ ddgagger \ ddagger} $ 我们有 $ n /（n-70）\ leq 2 $ 等选择 $ c \ geq 20a $ 将满足不等式<跨度类=“math-container”> $（1）$

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$$ \ dgragr \ quad \ text {此处遵守重复关系的$ \ ddagger $} $$

$$ \ dgragr \ dgragr \ quad \ text {这里的语句不符合重复关系的$ \ | $ \ | $$ \ | $$

$$ \ ddgagger \ ddgagger \ quad \ text {此处的语句符合递归关系的$ \ | $$ \ | $$$

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我无法理解这种差异，但是我没有包括整个算法（在clrs部分 $ 9.3 $ ），但如果需要它，请说明我也将包括它。

Answer 1

似乎 $ \ dgragr \ dagger $ 与 $ \ | $ 一致。您只需要选择一个常量 $ c $ ，它大于或等于常量 $ \ gamma $ 隐藏在 $ o（1）$ 表示法中的 $ t（n）$ for for $ n <140 $ （即，带有 $ \ ddagger $ ）的行。

然后，对于任何 $ n \ in \ {1，\ dots，139 \} $ ，您有 $根据需要，t（n）\ gamma \ Le C \ Le CN $ 。