에서 선택 최악의 경우 선형 시간이 모호성을 고려하여$n$는$T(n)=O(1)$및$T(n)\배경 cn$

Question

나는 텍스트를 통해 소개하는 알고리즘에 의해 Cormen et.al.어디에 왔을 통해 되풀이 관계 분석을 위한 시간 복잡도의 선형 알고리즘을 선택하고 나가는 것을 느꼈다는 몇 가지 아치와 존경의 범위 $n$, 입력 크기는 $T(n)$ 가정 $O(1)$ 고 $cn$ 대체 방법입니다.

정보의 텍스트는 다음과 같습니다:

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우리는 이제 개발에 대한 재발 최악의 경우 실행 시간 $T(n)$ 의 알고리즘을 선택합니다.단계 1,2,4 $O(n)$ 시간입니다.(2 단계로 구성되어 있의 $O(n)$ 의 전화로 삽입 정렬에 세트의 크기 $O(1)$ 3 단계 시간이 걸립 $T(\lceil n/5 ceil)$, 및 단계에 5 시간에서 대부분의 $T(7n/10+6)$, 고 가정하면,T 은 단순하게 증가하고 있다. 우리 가정을 만들 것 같다 하 처음에는 어떤 입력 미만의 $140$ 요소가 필요합 $O(1)$ 시간마법의 기원이 일정 $140$ 될 것입 취소됩니다.$^\단 검$ 우리는 할 수 있습 따라서 얻을 재발

$$T(n)\배경\시작하느니라 O(1)&\쿼드 ext{경우$n<140$$^\ddagger$}\\ T(\lceil n/5 ceil)+T(7n/10+6)+O(n)&\쿼드 ext{경우$n\hra 출력 140$ $^\|$}\\ \끝{경우}$$

우리는 실행 시간은 선에 의해 변경하십시오.더 구체적인 내용은 다음과 같습니다 표시 $T(n)\배경 cn$ 일부에 대한 적절하게 큰 일정 $c$ 고 모든 $n>0$.우리가 시작하는 것으로 가정하여 $T(n)\배경 cn$ 일부에 대한 적절하게 큰 일정 $c$ 고 모든 $n < 140$ $^{\단 검\단 검}$;이 가설을 보유하는 경우 $c$ 이 충분히 크다.우리는 또한 선수는 그러한 기능에 의해 설명 $O(n)$ 기 위(을 설명하는 비 재귀적 구성 요소의 시간을 실행하는 알고리즘의)제한된 위하여 모든 $n>0$.대체하여 이 유도적인 가설으로 오른쪽의 재발

$$T(n)\배경 c\lceil n/5 ceil+c(7n/10+6)+는$$

$$\배경 cn/5+c+7cn/10+6c+는$$

$$=9cn/10+7c+는$$

$$=cn+(-cn/10+7c+는).$$

에있는 대부분 $cn$ 는 경우

$$-cn/10+7c+는\배경 0. ag1$$

$$\iff c\hra 출력 10a(n/(n-70))\쿼드 ext{n>70}$$

기 때문에 우리는 가정 $n\hra 출력 140$ $^{\ddagger\ddagger}$ 리 $n/(n-70)\2 배경$ 고도록 선택 $c\hra 출력 20a$ 을 만족시킬 것이 불 $(1)$

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$$\단 검\쿼드 ext{문을 여기에서 준수$\ddagger$에서 되풀이 관계}$$

$$\단 검\단 검\쿼드 ext{기을 준수하지 않$\|$에서 되풀이 관계}$$

$$\ddagger\ddagger\쿼드 ext{문을 여기 않을 준수$\|$에서 되풀이 관계}$$

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할 수 없었다 확실히 이해 이러한 불일치,그러나 나는 포함하지 않았 전체 알고리즘(에서 사용 가능 clr 의 섹션 $9.3$ 다)하지만 경우에 넣은 그것이 필요하시기 바랍 말하는 그때 나는 포함하여야 합니다.

Answer 1

그것은 보인다 $\단 검\단 검$ 일관성과 $\|$.당신만을 선택해야 일정한 $c$ 그보다 크거나 같은 일정 $\감마$ 에 숨겨진 $O(1)$ 표기법에 정의 $T(n)$ 대 $n < 140$ (즉,선으로 표시 $\ddagger$).

그런 다음,어떠한 $n\\에서{1,\점,139\}$, 당신 $T(n)\le\감마\le c\le cn$, 원하는 대로.