Для выбора в худшем случае линейной временной неоднозначностью при рассмотрении $ n $, для которых $ t (n)= o (1) $ и $ t (n) \ leq cn $
Вопрос
Я проходил через текстовое введение в алгоритмы Cormen et. al. Там, где я наткнулся на соотношение рецидивов для анализа временной сложности алгоритма линейного выбора, и я чувствовал, что несколько вещей, вероятно, несоответствуют относительно диапазона $ n $ , Размер ввода, для которого $ t (n) $ предполагает, что $ O (1) $ и <класс Span= «Математический контейнер»> $ CN $ в способе замены.
Детали текста следующие:
Теперь мы можем разработать рецидивовое повторение для худшего времени работы $ T (N) $ Выбор алгоритма. Шаги 1, 2 и 4 Возьмите
$$ t (n) \ leq \ begin {face} O (1) & \ Quad \ text {Если $ n <140 $ ^ \ dddagger $} \\ T (\ lceil n / 5 \ RCEIL) + T (7n / 10 + 6) + O (n) & \ Quad \ Text {Если $ n \ geq 140 $ ^ \ | $} \\ \ end {Cass} $$
Мы показываем, что время работы является линейным путем замены. Более конкретно, мы покажем, что $ t (n) \ leq cn $ для некоторых соответствующих больших постоянных $ C $ AND
$$ t (n) \ leq c \ lceil n / 5 \ RCEIL + C (7n / 10 + 6) + $$
$$ \ leq cn / 5 + c + 7cn / 10 + 6c + $$
$$= 9Cn / 10 + 7c + $$
$$= cn + (- cn / 10 + 7c + an). $$
Что на большинстве $ CN $ Если
$$ - CN / 10 + 7C + A \ leq 0. \ Tag 1 $$
$$ \ iff c \ geq 10a (n / (n-70)) \ Quad \ text {Когда n> 70} $$
Потому что мы предполагаем, что $ n \ Geq 140 $ $ ^ {\ dddagger \ ddagger} $ У нас есть $ n / (n-70) \ leq 2 $ и поэтому выбирая $ c \ geq 20a $ удовлетворит неравенство $ (1) $
$$ \ dagger \ Quad \ Text {Заявление здесь соответствует $ \ dddagger $ в отношении рецидива} $$
$$ \ dagger \ dagger \ Quad \ text {Заявление здесь не соответствует $ \ | $ в отношении рецидива} $$
$$ \ dddagger \ dddagger \ Quad \ text {Заявление здесь выполняет соблюдение $ \ | $ в отношении рецидива} $$
Я не мог совсем понять это несоответствие, однако я не включал весь алгоритм (доступен в разделе CLRS $ 9,3 $ ), но если это необходимо, пожалуйста, скажите тогда Я буду включать это тоже.
Решение
Похоже, что $ \ dagger \ janger $ соответствует $ \ | $ .Вам просто нужно выбрать постоянный $ C $ , который больше или равен постоянной $ \ Gamma $ Скрыто в
Тогда, для любого $ n \ in \ {1, \ dots, 139 \} $ , у вас есть $T (n) \ le \ gamma \ le c \ le cn $ , по желанию.