存在/不存在的序列，随后延长的时间短，随后减少？

Question

可以存在任何整数序列 $ a $ 长度 $ n $ ，其中包含所有唯一元素即其最长延长的子序列的长度以及其最长递减的子序列少于<跨度类=“math-container”> $ \ displaystyle \ lfloor \ frac {n} {2} \ rfloor $ ？

如果是，则给出这样的序列的示例。否则，任何人都可以提出一个证明，不能存在这样的序列？

（只是为了添加一些物质，可以显示是否可以存在这样的序列，给定任何任意值 $ n> 1 $ ？）

Answer 1

op问题的答案是，如果 $ n \ le 7 $ ，则为否则。

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给定任何正整数 $ r $ 和 $ s $ ，庆祝的erdős-szekeres定理显示任何序列的序列，长度至少 $（r - 1）（s-1）+ 1 $ 包含长度 $ r $ < / span>长度 $ s $ 。

事实证明它绑定， $（r-1）（s-1）+1 $ 是紧的。也就是说，对于任何正数 $ r $ 和 $ s $ ，有一系列不同的数字长度 $（r-1）（s-1）$ ，其中不包含长度 $ r $ 长度 $ s $ 。

这里是这样的一个例子。

$$ \ begin {array} {} ＆s-1，＆s-2，＆\ cdots，＆2，＆1 \\ ＆2（s-1），（s-1）+ s-2，＆\ cdots，＆（s-1）+ 2，＆（s-1）+ 1 \\ ＆\ vdots＆\ vdots＆\ vdots＆\ vdots＆\ vdots \\ （R-2）（S-1），＆（R-3）（S-1）+ S-2，＆\ cdots，＆（R-3）（S-1）+ 2，＆（R- 3）（S-1）+1 \\ ＆（r-1）（s-1），（r-2）（s-1）+ s-2，＆\ cdots，＆（r-2）（s-1）+ 2，＆（r- 2）（S-1）+1 \\ \结束{array} $$

考虑上面的数字，从左到右读取，然后从上到下。换句话说，序列是 $ s-1 $ down to $ 1 $ ，然后是 $ 2（s-1）$ down to $（s-1）+1 $ 等，最终后跟< Span Class=“math-container”> $（r-1）（s-1）$ down to $（R-2）（S-1）+1 $ ，所有在 $ 1 $ 。

很容易看出，Length R不增加随后的r，并且长度 $ s $ 。

例如，当 $ r= s= 5 $ 时，我们有 $$ 4,3,2,1， \ \，8,7,6,5，\ \，12,11,10,9，\ \，16,15,14,13 $$ 它没有增加长度 $ 5 $ 的后续的延长的子序列 $ 5 $ 。

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如果我们让 $ r= s $ ，则上面的部分意味着，对于任何正数 $ n $ < / span>，存在一个整数的长度 $ n $ ，具有所有唯一的元素，使得其最长的后续随后的长度以及其最长的递减子序列最多 $ \ lceil \ sqrt n \ rceil $ 。和 $ \ lceil \ sqrt n \ rceil $ 是上限紧。

自 $$ \ lceil \ sqrt n \ rceil \ ge \ lfloor \ frac n2 \ rfloor \ \ text {为所有} n \ le 7 $$ 和 $$ \ lceil \ sqrt n \ rceil \ lt \ lfloor \ frac n2 \ rfloor \ \ text {为所有} n \ gt 7，$$ OP问题的答案是，如果 $ n \ le 7 $ ，则为否则。

例如，对于 $ n= 8 $ ，我们有序列 $ 3,2,1,6,5， 4,9,8,7 $ 。

Answer 2

以下是四个四倍的序列的直接结构。它由四个同样大小的连续整数组成。

第一个和第三次运行正在增加。第二和第四次运行正在减少。运行使用数字范围，使得<跨度类=“math-container”> $ r_2 。例如，使用 $ 4n= 16 $ ，

$$ 9,10,11,12 | 4,3,2,1 | 5,6,7,8 | 16,15,14,13 $$

越来越长的子序列是长度 $ n + 2 $ 。例如，在上文中，其中 $ 4n= 16 $ ，越来越长的子序列具有长度 $ 6 $ （ $ 1 | 5,6,7,8 | 16 $ ）。没有增加的子序列更长：

• 不可能从越来越多的运行中选择一个元素，因为第一次上升运行中的任何元素都从第二个增加的运行中取消了所有这些元素。
• 无法从减少运行中选择多个元素

对称参数适用于减少后续的子序列。

由于 $ n + 2 << 2n $ ，这适用于任何四个序列的反例。您可以轻松填充额外的序列元素，用于非多元长度。

我通过考虑一个“山丘”（增加，然后减少）来跨越这种施工，这完美地满足了你的状态。分解那些长期的长跑可以制作两个山丘（增加，减少，增加，减少），通过确保一个'山坡'的上/下斜率不断继续，这序列是不断的。

Answer 3

还有一些短序列，满足您的要求。 例如，考虑二元van der Comput序列的前16项 $$ 0,8,4,12,2,10,6,14,1，9,5,13,3,11,7,15. $$ 一般存在一个序列 $ t $ 长度 $ n \ geq1 $ ，其中包含最长的随后长度 $ x \ geq 1 $ ，长度 $ y \ geq 1 $ 如果和只有当数字 $ x $ ， $ y $ 和$ n $ 满足条件 $ x \ cdot y \ ge $ 和 $ x + y \ leqn + 1 $ ，查看这里。请注意，参考提供建设性证据。

Answer 4

确实存在这种序列。产生足够大的随机序列足够了。如果您检查Dan Romik的书，请 令人惊讶的数学数学的最长升级 ，定理1.1表示

$$ \ frac {\ ell_n} {\ sqrt n} \ to 2，$$

其中 $ \ ell_n $ 是在大小的随机排列中增加子序列的预期长度 $ n $ 。逐渐减少也是如此。因此，对于足够大的 $ n $ 必须存在一个序列，其中长度增加和减少了大多数 $ 5 \ sqrtn $ ，否则：

$$ 2 e [\ ell_n]= e [| drug_n |+ | incr_n |] \ ge 5 \ sqrt n，$$

与定理相矛盾。