为什么数学证明这么难？

Question

我是一名电气工程师，并试图转换为机器学习。我在多个文章中阅读，我必须在此之前学习数据结构和算法，我必须了解数学证据。我开始在我自己的MIT OCW上使用的材料学习它，而我确实掌握了感应和顺序良好的概念等。

我一直在努力锻炼很长一段时间，它真的令人沮丧。我可以很容易地处理我之前看到的任何类型的证据（例如，一旦我看到了一个复发问题的证明，我变得非常擅长证明它们）。当我面临一个不寻常的问题时，我的问题开始了。我觉得我正在记住证明而不是学习如何证明。

有没有办法（或任何资源），可以以一种方式来改善我的证明技能，每当我看到一个不寻常的问题（就像跳棋瓷砖和国际象棋瓷砖的问题）一样，我不必盯着他们放弃前2小时？

Answer 1

我觉得我正在记住证明，而不是学习如何证明

你不能学习“如何证明”。 “证明”不是机械过程，而是一个创造性的过程，你必须在其中到发明一种解决给定问题的新技术。专业的数学家可以花在一生中试图证明一个特定的陈述，从未成功。

我可以很容易地处理我之前看到的任何类型的证据（例如，一旦我看到了一次复发问题的证明，我变得非常擅长化它们）。当我面对一个不寻常的问题时，我的问题开始了。

是正常的。任何数学“证明”课程并非旨在教你如何采取您以前从未见过的任意问题，并且能够解决它（从没有人而不是最好的数学教授可以做到这一点）。相反，您的学习目标是

1. 了解如何“读取”证明并判断他们的正确性

2. 了解如何在正确的数学语言中“写入”证明

3. 了解已知的证明“技术”以及如何应用它们

如果您正在进行一个新的未知问题，那么您可能无法解决它是正常的。但是，知道并记住其他证明技术可以帮助您。常常证明涉及将新想法与现有已知的证明技术相结合。您已经知道的证据越多，可以更好地解决给定的问题。

你是在正确的轨道上。您应该简单地继续学习证明技巧。你正在做的练习都很好。如果你被困，不要担心。当您获得更高的经验丰富并且您的“工具箱”的技术增长，您将能够解决练习，这些练习“相似”您所看到的以前的练习。

Answer 2

作为其他作者提到，部分原因是证据本质上很难，但也部分是因为感冒事实是 <强>证据是为了教学 ，甚至没有写入在大多数教科书中。相反，大多数证据都是一种义务，作为一种逃避论点;根本没有提出证据被认为是不可接受的，但在耗尽的细节中写下它们会燃烧作者，以及尊重读者迷失在树林里的读者。因此，大多数证据是故意简洁的，仅为读者留下大量点来连接自己。虽然有些人发现这是一个有用的锻炼，但许多喜欢你和我的读者发现它使数学不必要地具有挑战性。这也是为什么在大学环境中的课堂教育学对于专业数学学习是必不可少的，因为对话的工具可以填补教科书证明的空白。

Answer 3

我肯定会推荐G.Polya的书，如何解决它。这是一个标准的经典，不容错过。有一个较新的书如何阅读和做证据：Daniel Solow的数学思想过程介绍，可以更可访问。

在任何事件中，验证都是人类的完全不自然。这是一个需要仔细认为我们通常不使用的纪律。我们习惯于通过我们的日子和我们的生活进行许多假设。如果我们不得不证明他们的第一个，我们无法下床。数学证据脱离了假设，只有你可以清楚地表现出明确且明确毫不含糊地的假设。

我对三角标识的问题有类似的麻烦。当有一个已知的，学习的方法时，试图从开始到完成即时。身份可能需要未知方向的多个步骤，而不是有多次方向。由于逻辑方法相当有限，而已知（如果您阅读书籍），则证明是有点更容易。保持它。

Answer 4

我喜欢汤姆的答案：没有魔法子弹，但你只需要继续做练习和渐渐地你会培养一个更好的直觉并知道如何攻击问题。

作为资源，您可能喜欢G. Polya的书如何解决它。看起来像 wikipedia文章给出了一个很好的，有点详细的概述。基本上，本书将为您提供处理数学陈述及其证明的策略或方法。

Answer 5

为什么数学证据如此努力？......我必须学习数据结构和算法，

我的猜测，您还想要了解算法的空间和时间复杂性，正如大O表示法中量化的那样。特别是复杂性，特别是暗示为什么要证明是艰难的。如果我答应了你最长度的证据 $ n $ 的给定陈述，您将如何找到它？从理论上讲，您可以通过Length $ \ Le N $ ，直到找到一个，这将是一个指数时间，例如 $ O（ne ^ {cn}）$ （我包括 $ n $ 进行阅读时间）。这对于我们的目的来说太低了，除非 $ n $ 非常小。可能有一个更好的算法，但没有人发现一个特别有效的普通术。这就是为什么证明事情仍然是“创意”练习，我们的意思是“我们不知道在伪典范中，这种思维有效如何”。

有没有办法（或任何资源），可以以一种方式来改善我的证明技能，每当我看到一个不寻常的问题（就像跳棋瓷砖和国际象棋瓷砖的问题）一样，我不必盯着他们放弃前2小时？

你称之为不寻常的问题，但你知道给出什么例子。那是这个问题的关键。如果您没有看到它（很多），您的体验中才“异常”。作为其他答案注意，只需继续学习更多工具。希望你应该能够讲述哪些问题。通过选择的示例来判断，证据中的不变性是您可以工作的东西。我不知道你的大/小的o符号是多么好，但我会再次提到这个话题，因为它通常有助于证明结果，例如依赖于它们，例如依赖于它们，例如，限制（至少如果您的意思是给出 $ \ varepsilon $ - $ \ delta $ 证明）。

Answer 6

一些证据必须繁琐，其他人甚至可能更容易，但作者没有提出更优雅的方式来写下来。提出一个简单的证据，甚至比理解证据更难，所以许多证据比他们应该更复杂。

如何了解如何理解证明（优雅或不）。您可以尝试的一些技术是拒绝该声明。为什么证明工作？当您遗漏证明的一个先决条件时会发生什么？

Answer 7

如果您已经非常方便编程，您可能喜欢学习使用互动验证助手< / a>喜欢coq或leen。 验证助手是一种编程语言，具有非常丰富的类型系统，其中可以表达建设性逻辑。 这些种类的语言在很大程度上运行在程序上的概念和编程方面的程序之间存在直接类比，以及在数学侧的命题和证据之间的主张和证明之间。 （这被称为 Curry-Howard同义词。）

在这些行上的一个非常有趣的项目是自然数游戏。 该游戏是伦敦帝国学院的几名教授的一部分，将所有本科数学正式使用验证助手精益。 在游戏开始时，您只需算法的PEANO公理：0是自然数，自然数的继承者是自然数，并且任何自然数的继承者都不等于自身。 您允许使用通常的谓词逻辑和归纳规则。 游戏的目的是提出加法，乘法和一些基本数字理论的严格，正式证明。

验证助手有效地赌博做纯数学 - 他们记得你的规则，他们实时地给你反馈。 如果您正在寻找一种方法来通过自学进行证明，请提高您的技能，我认为证明助手是伟大的工具。 最重要的是，它们也用于计算机程序的正式验证，这是一个有趣和可采用的专业化。

Answer 8

我是一名电气工程师以及训练的数学家。在完成EE的本科后，我转向数学，最后获得了艰难的博士学位。我不会说我是一个特别明亮的孩子。然而，我一直发现数学容易，因此无聊。然而，感谢我的父亲，即使在很小的时候（大约八或九）即使我知道数学比我的学校更远。所以我忍受了它。

我也源于擅长数学的自尊（是的，像我这样的残骸）。我可能还是这样做。

因为我逐渐减少了数学，当我完成高中时，我有点害怕它。我的情况与你在我的第一个或第二年的本科生中的情况非常相同，这对我的自尊来说非常糟糕。然后我在数学中开始 - 大部分是自学，也是通过审计课程，我以常规EE课程为代价。无论如何，ee，对我来说是一个蛋糕。但数学证明了一个非常坚硬的螺母来破解。

我继续大学后的数学研究，注册了数学计划，经过长时间，艰难而令人沮丧的斗争确实完成了我的博士学位。

我不知道你正在看哪个数学领域。但我不会建议任何在线资源或访客讲座进入数学。这样的事情只是给你一个理解的幻觉。你将有拿起一本书。你将有拿起一支笔。你将有开始写作。而且你也会学习艰难的方式，只有艰难的方式。如果你有人讨论有关的事情，很棒！别人在默默无闻中辛苦。

首先，与某人交谈以获得适合您的第一本书。休息你可以弄清楚自己。

Answer 9

我不敢相信没有其他人提到这一点，但如果你想学习应用机器学习，你可能会过于过度。你会在线性代数和基础计算机科学刷新。关于Coursera有一些伟大的专业 - 特别是机器学习轨道的机器学习和数学（它说有成本，但您可以免费审核每个课程 - 两项专业之间总共有大约8个）;安德鲁NG的深度学习专业化（5个课程）也很棒。然后报名参加演货播放并应用您的学习。我理解个人想知道如何使用严谨的数学证明，但没有人在生产中付款。实际上你最好学习机器学习。

Answer 10

我一直在努力奋斗，这是很长一段时间 真的令人沮丧。我可以轻松处理我的任何类型的证据 之前看到（例如，一旦我看到了一个复发问题的证明我 擅长证明它们）。当我面对时，我的问题开始了 不寻常的问题。我觉得我正在记住证明而不是 学习如何证明。

所以你确实知道如何阅读证明，但你发现这些难以困难。我认为可能有一些相关的东西。

是不同数学教科书所需能力之间的差异是指数级，而不是线性的。我已经看过名为“X”的书籍，这些书比题为“高级Y”的书本更难。作者对不同的观众进行了不同的观众，难度水平相应地不同。

第二，它可能只是一旦你更熟悉一个特定区域的概念和证据，它们会变得更容易。作为一些其他答案表明，证明经常遗漏了作者认为对其预定的受众显而易见的步骤。我们都不会期望证明是指出两加二等于四。一些读者发现完全神秘的事情就像 $ 2 + 2= 4 $ 用于其他读者。但这并不意味着书或文章不适合你。如果您可以通过丢失的步骤工作，您将获得对该主题的更深入了解，并且在您这样做后几次，困难会变得更容易。 （一本书中的证据是稍微努力的就像一个运动。）

第三，我了解如果您不想盯着证明两个小时，但我认为在此期间，您可能会学习很多。在此期间，您正在做的是通过对概念和步骤的不同解释以及从一步到另一个步骤的可能方法来思考，并思考作者铭记的假设。这是一个学习过程，我认为这样做有助于一个人更容易理解其他事情。

我在对我不熟悉的科目中做了很多自学。有时我为一个主题使用两本或三本书，因为一本书中遗漏的是什么更清楚的。有时候，我发现我必须去读取其他科目的书籍，因为笔者认为他们的读者都有一定的背景 - 我没有它。这并不一定意味着我在另一个主题上阅读整本书。有时我只是读得足够够了，以便我能理解我真正想要理解的书。这不是一个糟糕的做法。我最终学习了我对学习感兴趣的事情，但后来是有用的。

（也许这一切似乎是显而易见的，但希望这里有一些评论对某人有帮助。）

Answer 11

听起来你的问题是你缺乏逻辑推理的经验。通过调整您之前看到的证据，您可以轻松证明类似的定理，表明您没有理解证明的问题。但我怀疑你从未学习过一阶逻辑正确，这是真正数学推理中的必要成分。一旦你学习for for for for for for for for（我推荐惠誉风格），即使它们是完全新的，它也很容易处理任意数学领域。但是，有一个前期成本，这大概是学习新的编程语言所需的努力。所以我让你决定是否尝试。

独立于学习fol，您还需要一个练习来源，并且我建议如何通过Daniel Velleman来证明它。它确实教你一些逻辑推理，它为您提供了充足的整洁和有趣的东西。