Perché le dimostrazioni matematiche sono così difficili?

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29-09-2020
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Domanda

Sono un ingegnere elettrico e sto cercando di passare all'apprendimento automatico.Ho letto in più articoli che devo imparare strutture dati e algoritmi, prima di questo devo imparare le dimostrazioni matematiche.Ho iniziato a studiarlo da solo utilizzando il materiale disponibile sull'OCW del MIT, mentre afferravo i concetti di induzione, ordinamento dei pozzi ecc.

Ho lottato con gli esercizi per molto tempo ed è davvero frustrante.Posso gestire facilmente qualsiasi tipo di dimostrazione che ho visto prima (ad es.una volta che ho visto la dimostrazione di una domanda ricorrente sono diventato piuttosto bravo a dimostrarla).I miei problemi iniziano quando devo affrontare una domanda insolita.Mi sento come se stessi memorizzando le dimostrazioni piuttosto che imparare a dimostrarle.

Esiste un modo (o qualche risorsa) che possa migliorare le mie capacità di dimostrazione in modo tale che ogni volta che vedo una domanda insolita (come le domande del tipo tessere della dama e tessere degli scacchi) non devo fissarle per 2 ore prima arrendersi?

Soluzione

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Mi sento come se fossi memorizzando le prove piuttosto che imparare come dimostrare

You Can not Impara "Come dimostrare". "Proving" non è un processo meccanico, ma piuttosto un creativo dove devi inventare una nuova tecnica per risolvere un determinato problema. Un matematico professionista potrebbe trascorrere tutta la vita a cercare di dimostrare una determinata dichiarazione e non riuscire mai.

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Posso gestire facilmente qualsiasi tipo di prove che ho visto prima (ad esempio una volta che ho visto la prova di una domanda di ricorrenza che sono diventato abbastanza bravo a proverli). I miei problemi iniziano quando affronto una domanda insolita.

è normale. Qualsiasi corso di matematica "Proves" non è progettato per insegnarti come prendere un problema arbitrario Non hai mai visto prima ed essere in grado di risolverlo (dal momento che nessuno, nemmeno i migliori professori di matematica possono farlo). Piuttosto, i tuoi obiettivi di apprendimento sono

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Impara come "leggere" le prove e giudicare la loro correttezza

Impara come "scrivere" una prova nella lingua matematica destra

IMPARA SULLA PROVA CONSERVATA "Tecniche" e come applicarle

Se stai lavorando su un nuovo problema sconosciuto, è normale che potresti non essere in grado di risolverlo. Tuttavia, sapendo e avendo memorizzato altre tecniche di prova potrebbe aiutarti. Spesso le prove implicano la combinazione di una nuova idea con tecniche di prova note esistenti. Più, e più variano le prove che già sai sono, meglio è la tua possibilità di poter risolvere il problema dato.

Sei sulla strada giusta. Dovresti semplicemente continuare a studiare le tecniche di prova. Gli esercizi che stai facendo sono buoni. Non preoccuparti se ti sei bloccato. Come si ottiene più esperto e la tua "toolbox" di tecniche cresce, sarai in grado di risolvere esercizi che sono meno "simili" i precedenti che hai visto.

Altri suggerimenti

Come altri autori hanno menzionato, in parte perché le prove sono intrinsecamente difficili, ma anche in parte a causa del freddo freddo che le prove non sono scritte allo scopo di insegnare , ancheNella maggior parte dei libri di testo.Piuttosto, la maggior parte delle prove sono scritte da un tipo di obbligo, come una sorta di argomento di run-ony;Non presentando le prove del tutto è considerata inaccettabile, ma scriverli in dettagli estenuanti brucerebbe l'autore e mettere in pericolo il lettore perdersi nei boschi.Quindi, la maggior parte delle prove è succinta di proposito, lasciando un sacco di punti esclusivamente per il lettore di connettersi.Mentre alcune persone trovano questo un esercizio utile, molti lettori come te e me trovano che la matematica è inutilmente impegnativa.Questo è anche il motivo per cui la pedagogia in classe in un ambiente universitario è indispensabile per l'apprendimento matematico professionale in quanto gli strumenti del dialogo possono riempire lo spazio vuoto delle prove del libro di testo.

Posso sicuramente raccomandare il libro di G. Polya's, come risolverlo . È un classico standard, da non perdere. C'è un libro più recente come leggere e fare prove: un'introduzione ai processi di pensiero matematico di Daniel Solow che potrebbe essere più accessibile.

In qualsiasi evento che esegue le prove è interamente innaturale per gli esseri umani. È una disciplina che richiede attenzione che non utilizziamo normalmente. Siamo abituati a fare molte supposizioni per superare i nostri giorni e le nostre vite. Se dovessimo giustificare il primo di loro non potremmo alzarci dal letto. Una prova matematica spinge via le ipotesi e vive solo ciò che puoi mostrare chiaramente e in modo non ambiguo.

Ho avuto il problema simile con problemi sulle identità trigonometriche. Cercando di andare dall'inizio fino al finale è facile quando c'è un metodo noto e appreso. Le identità possono richiedere più passi in direzioni sconosciute senza molto senso di direzione. Le prove sono un po 'più semplici dal momento che i metodi logici sono abbastanza limitati e noti (se leggi i libri). Mantienilo.

Mi piace la risposta di Tom: non c'è un proiettile magico ma hai solo bisogno di continuare a fare esercizi e gradualmente svilupperai un'intuizione migliore e sarai come attaccare un problema.

Per quanto riguarda le risorse, potresti piacere il libro di G. Polya come risolverlo.Sembra L'articolo Wikipedia offre una panoramica bella e un po 'dettagliata.Fondamentalmente, il libro ti offrirà una strategia o metodi per affrontare le dichiarazioni matematiche e le loro prove.

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Perché le prove matematiche sono così difficili? ... Devo imparare strutture e algoritmi di dati,

La mia ipotesi è che vorrai anche imparare sullo spazio e la complessità del tempo di algoritmi, come quantificato in grande o notazione. La complessità del tempo, in particolare, suggerisce il motivo per cui le prove sono difficili. Se ti ho promesso, vi è una prova del massimo da lunghezza $ N $ di una determinata dichiarazione, come lo troveresti? In teoria, potresti passare attraverso tutte le prove della lunghezza $ \ le n $ finché non ne trovi uno, che prenderebbe il tempo esponenziale, dire $ O (ne ^ {cn}) $ (Ho incluso un fattore di $ N $ per il tempo di lettura). Questo è troppo inefficiente per i nostri scopi, a meno che $ N $ è molto piccolo. Potrebbe esserci un algoritmo molto migliore, ma nessuno ha trovato uno generale particolarmente efficiente. Ecco perché dimostrare che le cose rimangono un esercizio "creativo", con il quale intendiamo "non sappiamo in pseudocode termini in che modo tale pensiero funziona".

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C'è qualche modo (o qualsiasi risorsa) che può migliorare le mie capacità di dimostrazione in un modo che ogni volta che vedo una domanda insolita (come le tessere checkers e le piastrelle di scacchi tipo di domande) non devo fischiare di loro per 2 ore prima di rinunciare?

chiami queste domande insolite, eppure sai quali esempi da dare. Questo è il punto cruciale del problema proprio lì. È solo "insolito" nella tua esperienza se non lo hai visto (molto). Come altre risposte Nota, continua a imparare più strumenti. Speriamo, dovresti quindi essere in grado di dire quali aiutano con un problema. A giudicare dalla scelta degli esempi, l'uso di invarianti nelle prove è qualcosa su cui potresti lavorare. Non so quanto sia buona la tua notazione grande / piccola o piccola, ma menzionerò di nuovo quell'argomento perché è spesso utile dimostrare risultati, come le disuguaglianze o qualsiasi cosa dipendenza da loro, ad es. limiti (almeno se sei destinato a dare una $ \ varepsilon $ - $ \ delta $ ).

Alcune prove devono essere ingombranti, altri sono ingombranti anche quando potrebbero essere più facili, ma l'autore non ha avuto un modo più elegante per scriverlo.Venire con una semplice prova è ancora più difficile della comprensione di una prova e quindi sono molte prove più complicate di quanto dovrebbero essere.

Non ci sono consigli generali come comprendere le prove (eleganti o meno).Qualche tecnica che puoi provare è smentire la dichiarazione.Perché la prova funziona?Cosa succederebbe quando lasci una delle precondizioni per la prova?

Se sei già a portata di mano con la programmazione, potresti imparare a usare un Assistente interattivo / a> come coq o magra. Un assistente di prova è un linguaggio di programmazione con un sistema di tipo molto ricco in cui è possibile esprimere la logica costruttiva. Questi tipi di lingue operano in larga misura sulla nozione che c'è un'analogia diretta tra i programmi e i loro tipi sul lato di programmazione, e tra proposizioni e prove sul lato matematica. (Questo è chiamato curry-howard isomorfismo .) Un progetto davvero interessante su queste linee è il gioco naturale gioco . Il gioco fa parte di un programma più ampio da diversi professori presso l'Imperial College di Londra per formalizzare tutta la matematica universitaria utilizzando l'assistente di prova Lean . All'inizio del gioco, ti vengono dati solo gli assiomi di Peano dell'aritmetica: 0 è un numero naturale, il successore di un numero naturale è un numero naturale e il successore di qualsiasi numero naturale non è uguale a se stesso. Ti è permesso usare le normali regole della logica e dell'induzione predicato. L'oggetto del gioco è quello di trovare prove rigorose e formali delle proprietà di aggiunta, moltiplicazione e una teoria del numero di base.

Assistenti di prova giocano in modo efficace facendo la matematica pura - ricordano le regole per te e ti danno un feedback praticamente in tempo reale. Se stai cercando un modo per migliorare le tue abilità a fare le prove attraverso l'auto-studio, penso che gli assistenti di prova siano ottimi strumenti. Inoltre, sono anche utilizzati nella verifica formale dei programmi per computer, che è una specializzazione interessante e occupabile a sé stante.

Sono un ingegnere elettrico e un matematico di formazione.Dopo aver completato il mio corso di laurea in EE, sono passato alla matematica e alla fine ho ottenuto un dottorato guadagnato con fatica.Non dirò di essere un ragazzo particolarmente brillante.Tuttavia ho sempre trovato la matematica facile e di conseguenza noiosa.Tuttavia, grazie a mio padre, già da piccolissimo (circa otto o nove anni) sapevo che in matematica c’è molto di più della mia scuola.Quindi l'ho sopportato.

Ho anche tratto la mia autostima dall'essere bravo in matematica (sì, esistono relitti come me).Probabilmente lo faccio ancora.

Dato che ho fatto progressivamente sempre meno matematica, quando ho completato il liceo, ne avevo un po’ paura.La mia situazione sarebbe molto simile alla tua durante il mio primo o secondo anno di laurea, il che è stato molto negativo per la mia autostima.Poi ho iniziato la mia rieducazione in matematica, in gran parte tramite lo studio autonomo e anche tramite corsi di audit, che ho frequentato a scapito del mio regolare curriculum di EE.EE, comunque, è stata una passeggiata per me.Ma la matematica si è rivelata un osso molto duro da risolvere.

Ho continuato i miei studi di matematica dopo il college, mi sono iscritto al programma di matematica e dopo una lotta lunga, dura e frustrante ho completato il mio dottorato.

Non so quale area della matematica stai guardando.Ma non suggerirò alcuna risorsa online o lezione per gli ospiti per entrare in matematica.Queste cose ti danno solo l'illusione di capire.Desideri Avere per prendere un libro.Desideri Avere prendere una penna.E lo farai Avere per iniziare a scrivere.E anche tu imparerai nel modo più duro, soltanto nel modo più duro.Se hai qualcuno con cui discutere, bene!Altrimenti fatica nell'oscurità.

Per cominciare, parla con qualcuno per ottenere i primi due libri adatti a te.Riposa puoi capirlo da solo.

Non posso credere che nessun altro stia menzionando questo, ma probabilmente lo stai esattando se vuoi imparare l'apprendimento applicato automatico.Saresti meglio a spazzolare l'algebra lineare e la scienza informatica di base.Ci sono alcune grandi specializzazioni su CouraSera - in particolare l'apprendimento della macchina e la matematica per le tracce di apprendimento della macchina (dice che c'è un costo ma puoi controllare ciascuno dei corsi individualmente gratuitamente - ci sono circa 8 di loro totali tra le due specializzazioni);Anche la specializzazione di apprendimento di Andrew NG NG (5 corsi) è anche fantastica.Quindi iscriviti a Kaggle e applicare ciò che stai imparando.Capisco personalmente di voler sapere come ricavare prove matematiche con rigore, ma nessuno ti sta pagando per farlo in produzione.Stai meglio a studiare in realtà l'apprendimento della macchina.

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Ho lottato con gli esercizi per un tempo molto lungo ed è davvero frustrante. Posso facilmente gestire qualsiasi tipo di prove che io visto prima (ad esempio una volta ho visto la prova di una domanda di ricorrenza I divenne abbastanza bene a provarli). I miei problemi iniziano quando affronto un domanda insolita. Mi sento come se fossi memorizzando le prove piuttosto che Scopri come dimostrare.

Quindi sai come leggere le prove, ma stai trovando questi per essere difficili. Penso che ci siano probabilmente alcune cose che sono rilevanti.

Uno è che le differenze tra capacità richieste da diversi libri di testo matematico sono esponenziali, non lineari. Ho visto libri intitolati "Introduzione a x" che sono molto più difficili dei libri intitolati "Advanced Y". Gli autori hanno in mente un pubblico diverso e i livelli di difficoltà sono corrispondentemente diversi.

Secondo, potrebbe essere solo una volta che ottieni più familiarità con i concetti e le prove in una particolare area, diventerà più facile. Poiché alcune delle altre risposte indicano, le prove spesso lasciano i passaggi che l'autore ritiene che sarebbe ovvio per il loro pubblico previsto. Nessuno di noi si aspetterebbe una prova di sottolineare che due più due uguali quattro. Alcune cose che un lettore trova completamente misterioso sono come $ 2 + 2= 4 $ per altri lettori. Ciò non significa che il libro o l'articolo non sia per te, però. Se riesci a lavorare attraverso i passaggi mancanti, otterrai una comprensione più profonda del soggetto, e dopo averlo fatto un paio di volte, ciò che è stato difficile diventerà più facile. (Una prova in un libro che è un po 'troppo dura è come un esercizio.)

Terzo, capisco se non vuoi fissare una prova per due ore, ma penso che durante quel periodo, potresti imparare molto. Quello che stai facendo durante quel periodo sta pensando attraverso diverse interpretazioni dei concetti e dei gradini e dei possibili modi per ottenere da un passo all'altro, e pensare a quali presupposti avevano in mente l'autrice. Questo è un processo di apprendimento, e penso che farlo aiuta a capire altre cose più facilmente, dopo.

Faccio un sacco di auto-studio in soggetti che non sono familiari a me. A volte uso due o tre libri per un argomento, perché ciò che è stato lasciato in un unico libro sarà spiegato più chiaramente nell'altro. A volte scopro che devo andare a leggere i libri su altri soggetti, perché l'autore ha assunto che i loro lettori avrebbero tutti un certo background - e non ce l'ho. Ciò non significa necessariamente che ho letto l'intero libro sull'altro argomento. A volte leggo abbastanza in modo da poter capire il libro che voglio davvero capire. Questa non è una cattiva pratica. Finisco per imparare cose che non ero interessato all'apprendimento, ma che si rivelano utili in seguito.

(Forse tutto ciò sembra ovvio, ma spero che alcuni commenti qui siano utili a qualcuno.)

Sembra che il tuo problema sia che ti manchi esperienza con il ragionamento logico in generale. Il fatto che puoi dimostrare facilmente teoremi simili adattando una prova che hai visto prima, mostra che non hai problemi con la comprensione delle prove. Ma sospetto che tu non abbia mai imparato la logica del primo ordine, che è un ingrediente necessario nel vero ragionamento matematico. Una volta che impari un sistema deduttivo per il fol (per il quale consiglio lo stile Fitch), diventa davvero facile da gestire con aree arbitrarie di matematica anche se sono completamente nuove. Tuttavia, c'è un costo anticipato, che è all'incirca metà dello sforzo che devi mettere per imparare un nuovo linguaggio di programmazione. Quindi ti lascio decidere se provare o no.

Indipendente dall'apprendimento fol, hai anche bisogno di una fonte per la pratica, e per questo consiglio Come dimostrarlo di Daniel Velleman. Ti insegna un po 'di ragionamento logico, e ti dà un sacco di cose ordinate e interessanti da dimostrare.

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