لماذا البراهين الرياضية بجد؟

Question

أنا مهندس كهربائي ومحاولة إجراء انتقال إلى تعلم الآلة.قرأت في مقالات متعددة يجب أن تعلم هياكل البيانات والخوارزميات، قبل ذلك، يجب أن أتعلم عن الأدلة الرياضية.بدأت في دراسة ذلك بمفردي باستخدام المواد المتاحة على ميتس OCW، بينما كنت أفهم مفاهيم التعريفي وأمره جيدا وما إلى ذلك.

لقد كنت تكافح مع التمارين لفترة طويلة جدا وأنها محبطة حقا.يمكنني بسهولة التعامل مع أي نوع من البراهين التي رأيتها قبل (على سبيل المثال بمجرد أن رأيت دليلا على سؤال تكرار أصبح جيدا في إثباتهم).تبدأ مشاكلي عندما أواجه سؤال غير عادي.أشعر أنني أحفظ البراهين بدلا من تعلم كيفية إثبات.

هل هناك أي طريقة (أو أي موارد) يمكن أن تحسن مهاراتي الإثبات بطريقة ما كلما أرى سؤال غير عادي (مثل بلاط الداما والتبلايض الشطرنج من الأسئلة) ليس لدي التحديق عليهمقبل ساعتين من الاستسلام؟

Answer 1

أشعر أنني أحفظ البراهين بدلا من تعلم كيفية إثبات

أنت لا يمكن تعلم "كيفية إثبات". "إثبات" ليست عملية ميكانيكية، بل هي واحدة إبداعية حيث لديك اختراع تقنية جديدة لحل مشكلة معينة. يمكن أن يقضي الرياضيات المهنية حياتهم كلها تحاول إثبات بيان معين ولا تنجح أبدا.

يمكنني بسهولة التعامل مع أي نوع من البراهين التي رأيتها من قبل (على سبيل المثال، بمجرد أن رأيت دليلا على سؤال تكرار أصبح جيدا في إبرامهم). مشاكلي تبدأ عندما أواجه سؤال غير عادي.

هذا أمر طبيعي. أي دليل رياضيات "البراهين" ليست مصممة لتعليمك كيفية القيام بمشكلة تعسفية لم ترها من قبل وأن تكون قادرا على حلها (نظرا لأن أحدا لا أحد، لا حتى أفضل أساتذة الرياضيات يمكنهم القيام بذلك). بدلا من ذلك، أهداف التعلم الخاصة بك هي

1. تعلم كيفية "قراءة" البراهين والحكم على صحةهم

2. تعلم كيفية "الكتابة" أسفل دليل في اللغة الرياضية الصحيحة

3. تعرف على "تقنيات" إثبات معروفة وكيفية تطبيقها

إذا كنت تعمل على مشكلة جديدة غير معروفة، فمن الطبيعي أنك قد لا تكون قادرا على حلها. ومع ذلك، معرفة وبعد حفظ تقنيات إثبات أخرى قد تساعدك. غالبا ما تنطوي البراهين على الجمع بين فكرة جديدة مع تقنيات دليل معروفة الحالية. كلما زاد عدد الأدوات التي تعرفها بالفعل، كلما كانت فرصتك أفضل في أن تكون قادرة على حل المشكلة المحددة.

أنت على المسار الصحيح. يجب عليك ببساطة الحفاظ على دراسة تقنيات دليل. التمارين التي تقوم بها جيدة. لا تقلق إذا علقت. عند الحصول على المزيد من الخبرة و "علبة الأدوات" الخاصة بك ينمو، ستكون قادرا على حل التمارين الأقل "على حد سواء" في السابقين الذين رأيتهم.

Answer 2

كما ذكر مؤلفون آخرون، جزئيا لأن البراهين صعبة بطبيعتها، ولكن أيضا جزئيا بسبب الحقيقة الباردة التي غير مكتوبة بغرض التدريس ، حتىفي معظم الكتب المدرسية.بدلا من ذلك، يتم كتابة معظم البراهين من أي نوع من الالتزام، كنوع من حجة بعيدا؛إن عدم تقديم البراهين على الإطلاق يعتبر غير مقبول، لكن كتابةهم في التفاصيل المرهقة سيحرقون المؤلف وكذلك الخطر الذي يضيع القارئ في الغابة.وبالتالي، فإن معظم البراهين موجودة عن قصد، تاركا الكثير من النقاط فقط للقارئ لتوصيل أنفسهم.في حين أن بعض الناس يجدون هذا تمرين مفيد، فإن العديد من القراء مثلك وأجد أنه يجعل الرياضيات تحديا دون داع.هذا هو أيضا لماذا لا غنى عن علم تلمياج الفصول الدراسية في إعداد جامعي للتعلم الرياضيات المهنية لأن أدوات الحوار يمكن أن تملأ الفراغ من البراهين كتاب المدرسي.

Answer 3

يمكنني بالتأكيد أن أوصى كتاب G. Polya's، كيفية حلها . إنه كلاسيكي قياسي، لا ينبغي تفويته. هناك كتاب أحدث كيفية قراءة وإجراءات: مقدمة في عمليات الفكر الرياضي من قبل Daniel Solow التي قد تكون أكثر سهولة.

في أي حال، يقوم البراهين بالكامل غير طبيعي للبشر. إنه انضباط يتطلب فكرة حذرة لا نستخدمها عادة. نحن معتادون على جعل العديد من الافتراضات للحصول على أيامنا وحياتنا. إذا اضطررنا إلى تبرير الأول منهم لم نتمكن من الخروج من السرير. شرائط إثبات رياضية تفترض الافتراضات وتعيش فقط ما يمكنك إظهاره بوضوح وبلا بصراحة.

كان لدي مشكلة مماثلة في مشاكل في الهويات المثلثية. محاولة الوصول من البداية إلى النهاية أمر سهل عندما تكون هناك طريقة معروفة مستفادة. قد تتطلب الهويات خطوات متعددة في اتجاهات غير معروفة دون شعور كبير بالاتجاه. الأدلة أسهل بعض الشيء لأن طرق المنطقية محدودة إلى حد ما والمعروفة (إذا قرأت الكتب). إبقاء في ذلك.

Answer 4

أحب إجابة توم: لا توجد رصاصة سحرية لكنك تحتاج فقط إلى مواصلة القيام بالتمارين وتدريجي ستتطور حدس أفضل ومعرفة كيفية مهاجمة مشكلة.

أما بالنسبة للموارد، فقد تعجبك كتاب G. Polya كيفية حلها.يشبه تعطي مقالة Wikipedia نظرة عامة مفصلة إلى حد ما.في الأساس، سيقدم لك الكتاب استراتيجية أو أساليب للتعامل مع البيانات الرياضية والإبرانات الخاصة بهم.

Answer 5

لماذا البراهين الرياضية بجد؟ ... لا بد لي من تعلم هياكل البيانات والخوارزميات،

تخميني هو أنك سترغب في معرفة المزيد عن مساحة الخوارزميات وتعقيد الوقت، كما كمي في تدوين كبير. تعقيد الوقت، على وجه الخصوص، تلميحات في لماذا البراهين صعبة. إذا وعدت بك، فهناك دليل على الأكثر بطول $ n $ من بيان معين، كيف تجدها؟ من الناحية النظرية، هل يمكن أن تذهب من خلال جميع البراهين $ \ Le n $ حتى تجد واحدة، والتي سوف تأخذ الوقت الأسي، قل $ o (ne ^ {cn}) $ (لقد قمت بتضمين عامل $ n $ لوقت القراءة). هذا كثير غير فعال للغاية لأغراضنا، ما لم يكن $ n $ صغير جدا. قد يكون هناك خوارزمية أفضل بكثير، لكن لا يوجد أحد يعثران بشكل خاص بشكل خاص. لهذا السبب لا تزال تثبت التمرينات "الإبداعية"، حيث نعني من خلالها "نحن لا نعرف بشروط كوديا كيف يعمل هذا التفكير".

هل هناك أي طريقة (أو أي موارد) يمكن أن تحسن مهاراتي الإثبات بطريقة ما كلما أرى سؤال غير عادي (مثل بلاط الداما والتبلايض الشطرنج من الأسئلة) ليس لدي التحديق عليهم قبل ساعتين من الاستسلام؟

يمكنك استدعاء هذه الأسئلة غير عادية، ومع ذلك تعرف ما هي الأمثلة التي يجب تقديمها. هذا هو جوهر القضية هناك. إنه فقط "غير عادي" في تجربتك إذا لم تره (كثيرا). كما مذكرة إجابات أخرى، فقط استمر في تعلم المزيد من الأدوات. نأمل أن تكون قادرا على معرفة ما هي المساعدة في مشكلة. انطلاقا من اختيارك من الأمثلة، فإن استخدام الثبات في البراهين هو شيء يمكنك العمل عليه. لا أعرف مدى جودة تدوينك الكبير / الصغيرة، لكنني سأذكر هذا الموضوع مرة أخرى لأنه غالبا ما يكون مفيدا لإثبات النتائج، مثل عدم المساواة أو أي شيء يعتمد عليها، على سبيل المثال حدود (على الأقل إذا كان من المفترض أن تعطي $ \ Varepsilon $ - $ \ delta $ proof ).

Answer 6

بعض البراهين يجب أن تكون مرهقة، والبعض الآخر مرهقة فقط حتى عندما يكون ذلك أسهل، لكن المؤلف لم يتحقق وسيلة أكثر أناقة لكتابةها.الخروج برهان بسيط هو أصعب من فهم دليل وكذلك العديد من البراهين أكثر تعقيدا مما ينبغي أن يكون.

لا توجد نصيحة عامة كيفية فهم البراهين (أنيقة أم لا).بعض التقنية التي يمكنك المحاولة هي دحض البيان.لماذا يعمل الدليل؟ماذا سيحدث عند ترك أحد الشروط المسبقة للإثبات؟

Answer 7

إذا كنت مفيدا بالفعل مع البرمجة، فقد تستمتع بتعلم استخدام مساعد دليل التفاعلي < / a> مثل coq أو العجاف. مساعد دليل هو لغة برمجة مع نظام نوع غني للغاية من الممكن التعبير عن المنطق البناء. تعمل هذه الأنواع من اللغات إلى حد كبير على فكرة أن هناك تشبيه مباشر بين البرامج وأنواعها على جانب البرمجة، وبين الاقتراحات والإبرانات على جانب الرياضيات. (وهذا ما يسمى curry-howard isomorphism .)

مشروع مثير للاهتمام حقا على هذه الخطوط هو لعبة الرقم الطبيعي . اللعبة جزء من برنامج أكبر من قبل العديد من الأساتذة في كلية اللغة الإمبراطورية في لندن لإضفاء الطابع الرسمي على جميع الرياضيات الجامعية باستخدام مساعد دليل العجاف . في بداية اللعبة، تعطى مجرد بديهيات الفينو للحساب: 0 هو رقم طبيعي، فإن خليفة عدد طبيعي هو رقم طبيعي، وخلفية أي عدد طبيعي لا يساوي نفسه. يسمح لك باستخدام القواعد المعتادة من المنطق المسند والتحريض. الهدف من اللعبة هو الخروج ببراهيات صارمة وعصائية لخصائص الإضافة والضرب وبعض نظرية الأرقام الأساسية.

يدللون مساعدين فعليا يقومون بعمل رياضيات نقية - يتذكرون القواعد بالنسبة لك وهي تعطيك ردود فعل عمليا في الوقت الفعلي. إذا كنت تبحث عن وسيلة لتحسين مهاراتك عند إجراء البراهين من خلال الدراسة الذاتية، أعتقد أن المساعدين الدقيقين أدوات رائعة. علاوة على ذلك، يتم استخدامها أيضا في التحقق الرسمي لبرامج الكمبيوتر، وهي متخصصة مثيرة للاهتمام وقابلة للمستوى في حقها.

Answer 8

أنا مهندس كهربائي بالإضافة إلى عالم رياضيات من خلال التدريب. بعد الانتهاء من المرحلة الجامعية في EE، تحولت إلى الرياضيات وحصلت أخيرا على درجة الدكتوراه الثابتة التي حصل عليها. لن أقول أنني طفل مشرق بشكل خاص. ومع ذلك، لقد وجدت دائما الرياضيات سهلة وبالتالي ممل. ومع ذلك، بفضل والدي، حتى في سن مبكرة جدا (حوالي ثمانية أو تسعة) كنت أعرف أن هناك أكثر بكثير للرياضيات من مدرستي. لذلك تحملت ذلك.

اشتقت أيضا لتقديري الذاتي من أن أكون جيدا في الرياضيات (نعم، حطام مثلي موجودة). ربما ما زلت أفعل.

منذ أن أدى تدريجيا إلى الرياضيات أقل وأقل الرياضيات، بحلول الوقت الذي أكملته في مدرستي الثانوية، كنت خائفا إلى حد ما. سيكون وضعي أن يكون نفس الشيء الخاص بك في السنة الأولى أو الثانية من المرحلة الجامعية البكالوريوس، والذي كان سيئا للغاية لتقديري الذاتي. ثم بدأت تعطلي في الرياضيات - إلى حد كبير عن طريق الدراسة الذاتية وأيضا عن طريق دورات التدقيق، التي حضرتها على حساب مناهج هيا العادية. EE، على أي حال، كانت كعكة المشي بالنسبة لي. لكن الرياضيات أثبتت أن الجوز الصلب للغاية للقضاء.

واصلت دراسات رياضياتي بعد الكلية، والتحقق في برنامج الرياضيات وبعد فترة طويلة وصعبة ومحبطة تم إكمال الدكتوراه.

لا أعرف مجال الرياضيات التي تنظر إليها. لكنني لن أقترح أي موارد عبر الإنترنت أو محاضرات ضيف للحصول على الدخول إلى الرياضيات. مثل هذه الأشياء تعطيك فقط وهم الفهم. سوف لديها لالتقاط كتاب. سوف لديها لالتقاط القلم. وستكون لديها لبدء الكتابة. وأنت أيضا سوف تتعلم بالطريقة الصعبة، فقط بالطريقة الصعبة. إذا كان لديك شخص ما لمناقشة الأشياء مع، عظيم! كدح آخر في الغموض.

لتبدأ، تحدث إلى شخص ما للحصول على أول كتاب من الكتب المناسبة لك. بقية يمكنك معرفة نفسك.

Answer 9

لا أستطيع أن أصدق أي شخص آخر يذكر هذا ولكن ربما تكون مبالغة إذا كنت ترغب في تعلم تعلم الجهاز التطبيقي.كنت أفضل حالا بالفرشاة على الجبر الخطي، وعلوم الكمبيوتر الأساسية.هناك بعض التخصصات الكبيرة في Coursera - على وجه التحديد تعلم الآلات والرياضيات لمسارات التعلم الآلي (تقول إن هناك تكلفة ولكن يمكنك مراجعة كل دورة من الدورات بشكل فردي مجانا - هناك حوالي 8 منهم المجموع بين التخصصتين)؛ANDREW NG في تخصص التعلم العميق (5 دورات) رائعة أيضا.ثم اشترك في Kaggle وتطبيق ما تتعلم.أنا أفهم أنني أرغب شخصيا في معرفة كيفية استخلاص البراهين الرياضية بالضيق ولكن لا أحد يدفع لك للقيام بذلك في الإنتاج.أنت أفضل حالا في دراسة آلات التعلم في الواقع.

Answer 10

لقد كنت تكافح مع التدريبات لفترة طويلة جدا محبطة حقا. يمكنني بسهولة التعامل مع أي نوع من البراهين التي أنا رأى قبل (على سبيل المثال بمجرد رأيت دليلا على سؤال تكرار أنا أصبحت جيدة جدا في إثباتها). مشاكلي تبدأ عندما أواجه سؤال غير عادي. أشعر أنني أحفظ البراهين بدلا من تعلم كيفية إثبات.

حتى تعرف كيفية قراءة الأدلة، لكنك تجد هذه الأشياء صعبة. أعتقد أن هناك بعض الأشياء ذات الصلة.

واحد هو أن الاختلافات بين القدرة المطلوبة من قبل الكتب المدرسية الرياضية المختلفة هي الأسي، وليس خطية. لقد رأيت كتبا بعنوان "مقدمة في X" أكثر أصعب بكثير من الكتب التي بعنها "Advanced Y". في الاعتبار المؤلفون الجماهير المختلفة، ومستويات الصعوبة مختلفة في المقابل.

ثانيا، قد يكون الأمر بمجرد أن تصبح أكثر دراية بالمفاهيم والإبراهين في مجال معين، سيصبحون أسهلين. بما أن بعض الإجابات الأخرى تشير إلى أن الأدلة غالبا ما تترك الخطوات التي يفكر بها المؤلف ستكون واضحة للجمهور المقصود. لا يتوقع أي منا دليلا أن يشير إلى أن اثنين زائدين يساوي أربعة. بعض الأشياء التي يجدها قارئ واحد غامضة تماما مثل $ 2 + 2= 4 $ للقراء الآخرين. هذا لا يعني أن الكتاب أو المقال ليس لك، رغم ذلك. إذا كنت تستطيع العمل من خلال الخطوات المفقودة، فسوف تحصل على فهم أعمق للموضوع، وبعد القيام بذلك عدة مرات، ما كان صعبا سيصبح أسهل. (دليل في كتاب يمثل الصعب قليلا مثل ممارسة الرياضة.)

ثالثا، أفهم ما إذا كنت لا ترغب في التحديق بإثبات لمدة ساعتين، لكنني أعتقد أنه خلال تلك الفترة، قد تتعلم كثيرا. ما تفعله خلال ذلك الوقت يفكر من خلال تفسيرات مختلفة للمفاهيم والخطوات والطرق الممكنة للوصول من خطوة إلى أخرى، والتفكير في ما افتراضات المؤلف في الاعتبار. هذه عملية تعليمية، وأعتقد أن القيام بذلك يساعد المرء على فهم أشياء أخرى بسهولة أكبر، في وقت لاحق.

أنا أفعل الكثير من الدراسة الذاتية في الموضوعات غير المألوفة بالنسبة لي. في بعض الأحيان، استخدم كتابين أو ثلاثة كتبا موضوعا واحدا، لأن ما تبقى في كتاب واحد سيتم شرحه بشكل واضح في الآخر. في بعض الأحيان أجد أنني يجب أن أذهب وأقرأ الكتب على مواضيع أخرى، لأن المؤلف يفترض أن قرائهم سيكونون جميعا خلفية معينة - وليس لدي ذلك. هذا لا يعني بالضرورة قرأت الكتاب بأكمله على الموضوع الآخر. أحيانا قرأت فقط بما فيه الكفاية حتى أتمكن من فهم الكتاب الذي أريده حقا أن أفهمه. هذه ليست ممارسة سيئة. أنا في نهاية المطاف تعلم الأشياء التي لم أكن مهتما بالتعلم، ولكن هذا يتحول إلى أنه مفيد في وقت لاحق.

(ربما يبدو كل هذا واضحا، ولكن نأمل أن بعض التعليق هنا مفيد لشخص ما.)

Answer 11

يبدو وكأنه مشكلتك هو أنك تفتقر إلى الخبرة في التفكير المنطقي بشكل عام. إن حقيقة أنه يمكنك إثبات نظريات مماثلة بسهولة عن طريق تكييف دليل على أنك رأيت من قبل، يدل على أنك لم يكن لديك مشكلة في فهم البراهين. لكنني أظن أنك لم تعلم منطق من الدرجة الأولى مناسبة، وهو عنصر ضروري في التفكير الرياضي الحقيقي. بمجرد أن تتعلم نظاما استنتاجي ل FOL (الذي أوصي بأسلوب فيتش)، يصبح في الواقع من السهل التعامل مع المناطق التعسفية من الرياضيات حتى لو كانت جديدة تماما. ومع ذلك، هناك تكلفة مقدمة، ما يقرب من نصف الجهد الذي تحتاجه لتلقيه لتعلم لغة برمجة جديدة. لذلك أتركك لتحديد ما إذا كنت تريد تجربة أم لا.

مستقلة عن تعلم fol، تحتاج أيضا إلى مصدر للممارسة، ولأنني أوصي كيفية إثبات ذلك بقلم دانيال فيليمان. إنه يعلمك التفكير المنطقي، ويمنحك الكثير من الأشياء الأنيقة والمثيرة للإثبات.