Por que as provas matemáticas tão difícil?

https://cs.stackexchange.com/questions/128980

29-09-2020
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Pergunta

Eu sou um engenheiro elétrico e tentando fazer uma transição para o aprendizado de máquina.Eu li em vários artigos que tenho de aprender algoritmos e estruturas de dados, antes eu tenho que aprender sobre as provas matemáticas.Eu comecei a estudar no meu próprio usando o material disponível no MIT OCW, enquanto eu fazia compreender os conceitos de indução e bem encomendar etc..

Eu estive lutando com os exercícios por um tempo muito longo e é realmente frustrante.Eu posso facilmente lidar com qualquer tipo de provas que eu vi antes (por exemplo,uma vez eu vi a prova de uma recorrência pergunta eu me tornei muito bom em prová-los).Meus problemas começam quando eu encaro de uma forma incomum questão.Eu sinto como eu estou memorizando as provas em vez de aprender a provar.

Existe alguma maneira (ou recursos) que pode melhorar o meu provando habilidades de uma forma que sempre que eu ver um incomum questão (como o jogo de damas telhas e xadrez telhas tipo de perguntas) eu não tenho que olhar para elas por 2 horas antes de desistir?

Solução

Eu sinto como eu estou memorizando as provas em vez de aprender a provar

Você não pode aprender "como provar"."Provando" não é um processo mecânico, mas sim de um criativo onde você tem que inventar uma nova técnica para resolver um dado problema.Um matemático profissional poderia passar toda a sua vida a tentar provar que uma dada instrução e nunca terá sucesso.

Eu posso facilmente lidar com qualquer tipo de provas que eu vi antes ( ex.uma vez eu vi a prova de uma recorrência questão que se tornou muito boa prooving-los).Meus problemas começam quando eu encaro de uma forma incomum questão.

O que é normal.Nada de matemática "provas" curso não é projetado para ensinar a você como ter um arbitrário problema que você nunca viu antes, e ser capaz de resolvê-lo (já que ninguém, nem mesmo os melhores professores de matemática pode fazer isso).Em vez disso, seus objetivos de aprendizado são

Aprender a "ler" as provas e julgar sua veracidade,
Aprender a "escrever" para baixo uma prova no direito de linguagem matemática
Aprender sobre a prova "técnicas" e como aplicá-los

Se você estiver trabalhando em um novo problema desconhecido, é normal que você pode não ser capaz de resolvê-lo.No entanto, sabendo e ter memorizado outras provas técnicas podem ajudá-lo.Muitas vezes, as provas envolvem a combinação de uma idéia nova existentes conhecido prova técnicas.O mais, e quanto mais variadas as provas que você já conhece, melhor a sua chance de ser capaz de resolver o problema dado.

Você está no caminho certo.Você deve simplesmente continue estudando prova técnicas.Os exercícios que você está fazendo é bom.Não se preocupe se você ficar preso.Como você obter mais experientes e a sua "caixa de ferramentas" de técnicas cresce, você será capaz de resolver os exercícios que são menos "iguais" as anteriores você já viu.

Outras dicas

Como outros autores mencionaram, em parte porque as provas são inerentemente duras, mas também em parte por causa do fato frio que provas não são escritos com a finalidade de ensinar , mesmona maioria dos livros didáticos.Em vez disso, a maioria das provas são escritas de uma espécie de obrigação, como uma espécie de argumento de corrida;Não apresentar provas em tudo é considerado inaceitável, mas escrevê-los em detalhes exaustivos queimariam o autor, bem como em risco o leitor se perder na floresta.Assim, a maioria das provas são sucintas de propósito, deixando muitos pontos apenas para o leitor se conectarem.Enquanto algumas pessoas acham isso um exercício útil, muitos leitores como você e eu acho que torna a matemática desnecessariamente desafiadora.É também por isso que a pedagogia da sala de aula em uma configuração universitária é indispensável para a aprendizagem matemática profissional, pois as ferramentas do diálogo podem preencher o espaço em branco das provas de livros didáticos.

Eu posso certamente recomendar o livro de G. Polia, como resolvê-lo . É um clássico padrão, para não ser perdido. Há um livro mais novo Como ler e fazer provas: uma introdução aos processos de pensamento matemático por Daniel Solow que pode ser mais acessível.

Em qualquer caso, fazer provas é inteiramente não natural para os seres humanos. É uma disciplina que requer pensamento cuidadoso que normalmente não usamos. Estamos acostumados a fazer muitas suposições para passar pelos nossos dias e nossas vidas. Se tivéssemos que justificar o primeiro deles, não poderíamos sair da cama. Uma prova matemática tirou as suposições e vive apenas o que você pode mostrar de forma clara e inequivocamente.

Eu tive o problema semelhante com problemas sobre identidades trigonométricas. Tentar obter do começo para o final é fácil quando há um método conhecido e aprendido. As identidades podem exigir várias etapas em direções desconhecidas sem muito sentido de direção. As provas são um pouco mais fáceis, já que os métodos são bastante limitados e conhecidos (se você ler os livros). Manter nisso.

Eu gosto da resposta de Tom: não há uma bala mágica, mas você só precisa continuar fazendo exercícios e gradualmente você desenvolverá uma melhor intuição e saberá como atacar um problema.

Quanto aos recursos, você pode gostar do livro de G. Polia como resolvê-lo.Parece que o artigo da Wikipedia dá uma visão geral e um pouco detalhada.Basicamente, o livro oferecerá uma estratégia ou métodos para lidar com declarações matemáticas e suas provas.

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Por que as provas matemáticas são tão difíceis? ... Eu tenho que aprender estruturas e algoritmos de dados,

Meu palpite é que você também vai querer aprender sobre o espaço e a complexidade do tempo de algoritmos, como quantificado na notação de grande o. A complexidade do tempo, em particular, sugere por que as provas são difíceis. Se eu te prometi, há uma prova de maior tamanho $ n $ de uma determinada declaração, como você encontraria? Em teoria, você poderia passar por todas as provas de comprimento $ \ le n $ até encontrar um, o que levaria tempo exponencial, digamos "span class=" recipiente de matemática "> $ O (ne ^ {cn}) $ (incluí um fator de $ n $ para o tempo de leitura). Isso é muito ineficiente para os nossos propósitos, a menos que $ n $ seja muito pequeno. Pode haver um algoritmo muito melhor, mas ninguém achou um general particularmente eficiente. É por isso que provar as coisas continua sendo um exercício "criativo", pelo qual queremos dizer "não sabemos em termos de pseudocódigo como tal trabalho funciona".

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Existe alguma maneira (ou qualquer recurso) que possa melhorar minhas habilidades de provação de uma forma que sempre que eu vejo uma pergunta incomum (como os telhas de verificadores e telhas de xadrez de perguntas), não tenho que olhar para eles para 2 horas antes de desistir?

Você chama essas perguntas incomuns, mas você sabe quais exemplos de dar. Esse é o ponto crucial da questão ali mesmo. É apenas "incomum" em sua experiência, se você não viu (muito). Como outras respostas, apenas continue aprendendo mais ferramentas. Espero que você então seja capaz de dizer quais ajudam com um problema. A julgar pela sua escolha de exemplos, o uso de invariantes em provas é algo que você poderia trabalhar. Eu não sei como é boa sua notação grande / pequena O, mas eu mencionarei esse tópico novamente porque muitas vezes é útil provar resultados, como desigualdades ou algo dependente deles, e. Limites (pelo menos se você pretende dar uma $ \ VAREPSILON $ - $ \ delta $ prova ).

Algumas provas têm que ser complicadas, outras são complicadas, mesmo quando poderiam ser mais fáceis, mas o autor não surgiu com uma maneira mais elegante de anotá-la.Chegando com uma prova simples é ainda mais difícil do que entender uma prova e, assim, muitas provas mais complicadas do que deveriam ser.

Não há conselhos gerais como compreender provas (elegantes ou não).Alguma técnica que você pode tentar é refutar a declaração.Por que a prova funciona?O que aconteceria quando você deixar de fora uma das condições prévias para a prova?

Se você já está bastante prático com programação, você pode desfrutar de aprender a usar um assistente de prova interativo como Coq ou Magra.Uma prova de assistente é uma linguagem de programação com uma rica tipo de sistema em que é possível expressar a lógica construtiva.Estes tipos de linguagens de operar em grande parte, na noção de que há uma analogia directa entre programas e tipos de programação de um lado, e entre proposições e provas na matemática lado.(Este é o chamado Curry-Howard isomorfia.)

Realmente um projeto interessante estas linhas é o Números Naturais Jogo.O jogo é parte de um programa maior por vários professores do Imperial College de Londres, para a formalização de todos os cursos de graduação de matemática usando o assistente de prova Lean.No início do jogo, você recebe apenas os axiomas de Peano de aritmética:0 é um número natural, o sucessor de um número natural é um número natural, e o sucessor de qualquer número natural não é igual a si mesma.Você está autorizado a usar as regras usuais de predicado lógica e indução.O objeto do jogo é chegar com rigoroso, formal provas das propriedades da adição, multiplicação, e alguns básicos de teoria de números.

Prova assistentes efetivamente marcar a fazer a matemática pura -- eles lembram as regras para você e dar-lhe feedback praticamente em tempo real.Se você está procurando uma maneira de melhorar suas habilidades em fazer provas, através de auto-estudo, eu acho que a prova de assistentes são ótimas ferramentas.Em cima disso, eles também são usados na verificação formal de programas de computador, que é um interessante e emprego de especialização em seu próprio direito.

Eu sou um engenheiro elétrico, bem como um matemático por formação. Depois de completar minha graduação em EE, mudei para matemática e finalmente obteve um doutorado dado. Eu não vou dizer que sou um garoto particularmente brilhante. No entanto, sempre encontrei a matemática fácil e, consequentemente, chata. No entanto, graças ao meu pai, mesmo em uma idade muito cedo (cerca de oito ou nove) eu sabia que há muito mais para a matemática do que a minha escola. Então eu suportei isso.

Eu também derivei minha auto-estima de ser bom em matemática (sim, destroços como eu existam). Eu provavelmente ainda faço.

Desde que eu faço progressivamente menos e menos matemática, no momento em que completei meu ensino médio, eu estava com medo disso. Minha situação seria muito importante que a sua no meu primeiro ou segundo ano de graduação, que era muito ruim para a minha auto-estima. Em seguida, iniciei minha reeducação em matemática - em grande parte pelo auto-estudo e também por meio de cursos de auditoria, que participei à custa do meu currículo regular. Ee, de qualquer maneira, era uma caminhada de bolo para mim. Mas a matemática provou ser uma porca muito dura para quebrar.

Continuei meus estudos de matemática depois da faculdade, matriculados no programa de matemática e, após uma longa, difícil e frustrante luta, completou meu doutorado.

Eu não sei qual área de matemática você está olhando. Mas não vou sugerir recursos on-line ou palestras convidados para entrar em matemática. Essas coisas só lhe dão uma ilusão de compreensão. Você vai ter para pegar um livro. Você vai ter para pegar uma caneta. E você vai ter para começar a escrever. E você também vai aprender a maneira mais difícil, apenas da maneira mais difícil. Se você tem alguém para discutir coisas com, ótimo! Mais labuta na obscuridade.

Para começar, fale com alguém para obter os primeiros pares de livros adequados para você. Descanso você pode descobrir a si mesmo.

Eu não posso acreditar que ninguém mais está mencionando isso, mas você provavelmente está exagerando se quiser aprender a aprendizagem de máquina aplicada.Você estaria melhor escovando a álgebra linear e a ciência básica da computação.Existem algumas ótimas especializações no Coursera - especificamente a aprendizagem de máquina e a matemática para faixas de aprendizagem de máquina (diz que há um custo, mas você pode auditar cada um dos cursos individualmente gratuitamente - há cerca de 8 deles entre as duas especializações);A especialização de aprendizado profundo de Andrew NG (5 cursos) também é fantástica.Em seguida, inscreva-se para Kaggle e aplique o que você está aprendendo.Eu entendo pessoalmente querer saber como derivar provas matemáticas com rigor, mas ninguém está lhe pagando para fazer isso em produção.Você é melhor realmente estudando aprendizado de máquina.

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Eu tenho lutado com os exercícios por muito tempo e é Realmente frustrante. Eu posso lidar facilmente com qualquer tipo de provas que eu viu antes (por exemplo, uma vez que eu vi a prova de uma pergunta de recorrência eu tornou-se muito bom em provar eles). Meus problemas começam quando enfrento um pergunta incomum. Eu sinto que estou memorizando as provas em vez de Aprenda a provar.

Então você sabe como ler provas, mas você está achando que esses sejam difíceis. Eu acho que provavelmente há algumas coisas relevantes.

Uma é que as diferenças entre a habilidade exigida por diferentes livros matemáticos são exponenciais, não lineares. Eu vi livros intitulados "Introdução a X" que são muito mais difíceis do que os livros intitulados "Avançado Y". Os autores têm em mente diferentes audiências, e os níveis de dificuldade são correspondentemente diferentes.

Em segundo lugar, pode ser apenas que, uma vez mais familiarizado com conceitos e provas em uma área específica, eles se tornarão mais fáceis. Como algumas das outras respostas indicam, as provas geralmente deixam de fora os passos que o autor acha que seria óbvio para o público-alvo. Nenhum de nós esperaria que uma prova apontasse que dois mais dois é igual a quatro. Algumas coisas que um leitor encontra completamente misteriosas são como $ 2 + 2= 4 $ para outros leitores. Isso não significa que o livro ou artigo não seja para você, no entanto. Se você puder trabalhar através dos passos ausentes, terá uma compreensão mais profunda do sujeito, e depois de fazer isso algumas vezes, o que foi difícil se tornará mais fácil. (Uma prova em um livro que é um pouco difícil é como um exercício.)

Terceiro, eu entendo se você não quer olhar para uma prova por duas horas, mas acho que durante esse período, você pode estar aprendendo muito. O que você está fazendo durante esse tempo é pensar em diferentes interpretações dos conceitos e passos e possíveis maneiras de obter de um passo para outro, e pensar sobre quais suposições que o autor tinha em mente. Esse é um processo de aprendizagem, e acho que isso ajuda a entender outras coisas mais facilmente, mais tarde.

Eu faço um monte de auto-estudo em assuntos que não são familiares para mim. Às vezes eu uso dois ou três livros para um assunto, porque o que deixou de fora em um livro será explicado mais claramente no outro. Às vezes acho que tenho que ir e ler livros sobre outros assuntos, porque o autor assumiu que seus leitores teriam um certo plano de fundo - e eu não tenho isso. Isso não significa necessariamente que eu li o livro inteiro sobre o outro assunto. Às vezes acabei de ler o suficiente para que eu possa entender o livro que eu realmente quero entender. Esta não é uma prática ruim. Eu acabo aprendendo coisas que eu não estava interessado em aprender, mas que acabou sendo útil mais tarde.

(talvez tudo isso parece óbvio, mas espero que algum comentário aqui seja útil para alguém.)

Parece que seu problema é que você não tem experiência com raciocínio lógico em geral. O fato de você pode provar os teoremas semelhantes facilmente adaptando uma prova que você viu antes, mostra que você não tem um problema com as provas compreensivas. Mas eu suspeito que você nunca aprendi a lógica de primeira ordem adequada, que é um ingrediente necessário no raciocínio matemático real. Uma vez que você aprende um sistema dedutivo para o seguido (para o qual eu recomendo estilo Fitch), na verdade, é fácil lidar com áreas arbitrárias de matemática, mesmo que sejam completamente novas. No entanto, há um custo adiantado, que é aproximadamente metade do esforço que você precisa para aprender uma nova linguagem de programação. Então eu deixo você decidir se vai tentar ou não.

Independente do aprendizado, você também precisa de uma fonte para a prática, e para que eu recomendo Como provar isso por Daniel Velleman. Ele te ensina um pouco de raciocínio lógico, e dá-lhe muitas coisas legais e interessantes para provar.

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