MAX2SAT特定情况的复杂性

Question

我知道MAX2SAT一般是NP-TEMPLED，但我想知道是否已知某些限制案件是在P.肯定是语言

$ l_k：={\ phi \，| \，\ phi \，\ text {是2sat的一个实例，它具有满足k个条款的分配。} $

可以在 $ o（n ^ k）$ 中通过蛮力搜索来解决，因为对于每种语言 $ k $ 是固定的。但是，我想知道指定了一小部分的情况。任何级分都会产生np难的问题吗？具体而言，我想知道满足2SAT实例的至少一半条款的情况。

从3SAT到MAX2SAT的Regraphe I Seaks从3SAT中的每个条款构造10个条款，使得在这十个中，当满足原始的3SAT子句时，恰好7满足于最多6当未满足原始条款时满足。因此，在这种减少中， $ 7/10 $ 工作，但 $ 1/2 $ 不会因为不满意的真相而3SAT实例的分配仍然可以产生2SAT的实例，该实例具有满足超过一半的条款。我想到了另一个建筑或向2SAT的实例添加额外的条款，但到目前为止我一直没有成功。

Answer 1

您可以始终满足至少一半的条款：对于每个变量 $ x $ ，查找包含 $ x $ 以及包含 $ \ lnot x $ 的子句的数量。选择满足最多条款的人。删除包含 $ x $ 和 $ \ lnot x $ 的子句。重复其他变量。

因为每个 $ x $ 我们满足至少一半的删除条款，我们满足整体条款的一半。

另一方面，它也很紧：让 $ \ Alpha> \ FRAC 12 $ 是我们可以给出答案的条款的分数。让 $ \ beta> \ frac 12 $ 是我们可以在特定子句中满足的最大分数。然后我们可以添加条款，以便 $ \ beta $ （对于新子句）成为 $ \ alpha $ < / span>：

• 如果 $ \ beta <\ alpha $ ，那么我们可以添加clauses $（x_i \ lor \ lnot x_i） $ ，直到 $ \ beta> \ alpha $ （因为这些条款始终为真， $ \ beta $ 增加）。
• 如果 $ \ beta> \ alpha $ ，我们可以添加clauses $（x_i）$ 和 $（\ lnot x_i）$ ，直到 $ \ beta <\ alpha $ （因为恰好是条款的一半是真的， $ \ beta $ 减少）。

我没有检查，但是得到 $ o（\ frac 1m）$ 差异（即查找确切的条款数量），我认为它足够了要添加 $ o（m）$ 条款。换句话说，如果我们可以解决一些 $ \ alpha> \ frac 12 $ ，我们可以检查任何 $ \ β$ 是否<跨度类=“数学容器”> $ \ beta $ 条款的分数可以满足，因此我们可以在多项式时间中解决MAX2SAT。