MAX2SATの特定の症例の複雑さ

Question

MAX2SATは一般的にNP完成であることを知っていますが、特定の制限事件がPにあることが知られている場合は疑問に思います。確かに言語

$ L_K：={\ phi \、| \ phi \、\ text {は、少なくともk句を満たす割り当てを持つ2satのインスタンスです。} $

は、 $ o（n ^ k）$ で解決できます $ k $ が固定されています。ただし、句の一部が指定されている場合については疑問に思います。あらゆる部分はNPハードの問題を生じますか？具体的には、2SATインスタンスの句の少なくとも半分を満足させる場合について疑問に思います。

3SATからMAX2SATからMAX2SATからSAEを作成する3SATの各項からの各句は、オリジナルの3SAT条項が満たされているときに正確に7が満たされ、原句が満たされていないときに満足する。そのため、この減少では、 $ 7/10 $ 作品の割合が $ 1/2 $ は、不満足な真実のためではありません3SATインスタンスの割り当ては、句の半数以上を満たす割り当てを持つ2SATのインスタンスを生成できます。私は別の構造について考え、2SATのインスタンスに追加の句を追加しましたが、これまでに失敗しました。

Answer 1

常に少なくとも半分の句を満たすことができます。 $ x $ ごとに、 $ x $ と $ \ lnot x $ を含む句の数。ほとんどの句を満たすものを選択してください。 $ x $ と $ \ lnot x $ を含む句を削除します。他の変数に対して繰り返します。

$ x $ では、削除された句の少なくとも半分を満たしています。全体的な句の半分を満たします。

もタイトなものです。 $ \ alpha> \ frac 12 $ は、答えを与えることができる句の分数になります。 $ \ beta> \ frac 12 $ は、特定の句で満たすことができる句の最大部分です。その後、 $ \ beta $ （new句の場合）が $ \ alpha $ <に任意になるように句を追加できます。 / SPAN>：

• $ \ beta <\ alpha $ の場合、 $（x_i \ lor \ lnot x_i）を追加できます。 $ \ beta> \ alpha $ まで$ （これらの句は常にtrueです。 $ \ beta $ が増えます。
• $ \ beta> \ alpha $ の場合、 $（x_i）$ を追加することができます。 $（\ lnot x_i）$ 、 $ \ beta <\ alpha $ （句の半分以降） $ \ beta $ が減少します。

私はチェックしませんでしたが、 $ o（\ frac 1m）$ の違い（つまり、正確な句の数を見つけるため）で、私はそれが十分だと思います $ o（m）$ 句を追加するには。つまり、 $ \ alpha> \ frac 12 $ で解決できる場合は、任意の $ \をチェックできます。 Beta $ $ \ beta $ の句の割合を満たすことができますので、多項式時刻にMAX2SATを解くことができます。