MAX2SAT의 특정 사례의 복잡성

Question

MAX2SAT가 일반적으로 NP 완성이라는 것을 알고 있지만 특정 제한 경우가 P를 확실하게 알려진 것으로 알려져 있습니다

$ l_k :={\ phi \, | \, \ phi \, \ text {적어도 k 조항을 만족하는 할당이있는 2sat의 인스턴스입니다.} \ } $

$ O (n ^ k) $ 각 언어 $ k $ 은 고정되어 있습니다. 그러나 저는 조항의 일부분이 지정된 경우에 궁금합니다. 어떤 분수가 NP-HARD 문제를 일으키는가? 특히 2SAT 인스턴스의 절 절반을 충족시키는 경우에 대해 궁금합니다.

3SAT에서 MAX2SAT에서 MAX2SAT까지의 감소는 3SAT의 각 절에서 10 조 정확히 원래의 3SAT 절이 만족 될 때 정확히 7이 만족되었고 원래 절이 만족되지 않을 때 최대 6 개가 만족된다. ...에 따라서 $ 7/10 $ 의 분수는 작품이지만 $ 1/2 $ 은 불만족의 진리가 있기 때문에 3SAT 인스턴스의 할당은 정당 절반 이상을 만족하는 할당이있는 2SAT의 인스턴스를 여전히 생성 할 수 있습니다. 나는 또 다른 건축에 대해 생각하거나 2sat의 사례에 추가 조항을 추가하지만 지금까지 실패했습니다.

Answer 1

항상 적어도 절반을 충족시킬 수 있습니다. $ x $ 에 대해 $ \ lnot x $ 을 포함하는 조항 수. 대부분의 절을 만족하는 것을 선택하십시오. $ x $ 및 $ \ lnot x $ 을 포함하는 절을 제거하십시오. 다른 변수에 대해 반복하십시오.

각 $ x $ 우리는 제거 된 조항의 적어도 절반을 만족시켜 전반적인 절반을 만족시킵니다.

다른 한편으로는 단단히 $ \ alpha> \ frac 12 $ 우리가 대답을 줄 수있는 조항의 일부분이 되십시오. $ \ beta> \ fRAC 12 $ 특정 절에서 만족할 수있는 클로스의 최대 비율이되도록하십시오. 그런 다음 $ \ beta $ (새 절의 경우)이 $ \ alpha $ < / span> :

• $ \ beta <\ alpha $ 인 경우 클로스 $ (x_i \ lor \ lnot x_i)를 추가 할 수 있습니다 $ \ beta> \ alpha $ (이들 절이 항상 true이기 때문에 $ \ beta $)까지 $ 증가).
• $ \ beta> \ alpha $ , 우리는 클로스 $ (x_i) $ 을 추가 할 수 있습니다. $ (\ lnot x_i) $ $ \ beta <\ alpha $ (정확히 절반 정확히 $ \ beta $ 이 감소합니다.

나는 점검하지 않았지만 $ o (\ frac 1m) $ 차이 (즉, 정확한 수를 찾으려면) 나는 충분하다고 생각한다. $ o (m) $ 절을 추가하는 방법. 즉, 일부 $ \ alpha> \ frac 12 $ 을 해결할 수 있다면 $ \ 베타 $ $ \ beta $ 절을 만족시킬 수 있으므로 우리는 다항식 시간에 max2sat을 해결할 수 있습니다.