存在$ \ mathsf {pspace} $ - 完全稀疏的语言是否存在任何结果，就像Mahaney的定理一样？

Question

mahaney的定理表明 $ \ mathsf {np} $ -complete稀疏语言将导致 $ \mathsf {p= np} $ 。对于复杂性类 $ \ mathsf {pspace} $ ，例如“如果有，则是任何结果结果$ \ mathsf {pspace} $ -complete稀疏语言， $ \ mathsf {pp= pspace} $ “或相同的任何其他复杂性类中<跨越类=“math-container”> $ \ mathsf {pspace} $ ？

Answer 1

快速结果是 $ pspace=sigma_2 $ 。

首先显示 $ pspace \ subseteq p / poly $ ，作为结果 $ pspace \ subseteq \ sigma_2 $ （如果在p / poly中找到计算表的条目，那么它也是 $ \ sigma_2 $ ，因为我们可以猜出一个电路和在本地验证其正确性这里）。

要了解为什么具有pspace-complete稀疏语言 $ s $ 在p / poly中放置pspace，给定 $ l在pspace $ 中，让 $ f $ 从 $ l $ 到< SPAN Class=“math-container”> $ s $ 。请注意，如果 $ | f（x）| f（x）| $ 仅取决于 $ | x | $ ，然后< SPAN Class=“Math-Container”> $ L \ IN P / Poly $ ，因为我们可以连接 $ F $ 以及 $ S $ （由于稀疏，在p / poly中）。为了克服 $ f $ 可能在输出的长度中变化相同的输入大小，请注意，在长度 $ n $ 输入 $ f $ 可以产生长度 $ \ le n ^ c $ ，所以给定 $ x $ 我们可以作为一个提示 $ | x | ^ c $ $ s $ 输入大小 $ 0,1，...，...，| x | ^ c $ 。在这些电路中，我们具有能够确定 $ f（x）$ 到中的“右”电路。 $ s $ 。