显示不等式对所有正整数持有

Question

$ a_1= 2，a_2= 9，a_n= 2a_ {n-1} + 3a_ {n-2} $ for $ n>= 3 $

show $ a_n <3 ^ n $ 对于所有正整数n

基本情况： $ a_3= 2 * 9 + 3 * 2= 24 <= 3 ^ 3 $ 是真的

假设： $ a_k <= 3 ^ k $ for $ k \ epsilon \ mathbb {n} $ ，显示 $ a_ {k + 1} <= 3 ^ {k + 1} $

开始：

$ a_k <= 3 ^ k $ 暗示 $ 3a_k <= 3 ^ {k + 1} $

通过定义： $ a_ {k + 1}= 2a_k + 3a_ {k-1} $

$ 2a_k + 3a_ {k-1} <= 2a_k + a_k= 3a_k <= 3 ^ {k + 1} $

因为 $ 3a_ {k-1}= 2a_ {k-1} + a_ {k-1}= 2a_ {k-1} + 2a_ {k-2} + 3a_ {k-3} $

$ 3a_ {k-1} $ 将始终小于 $ a_k $ 因为 $ 2a_ {k-2} + 3a_ {k-3} $ 始终小于 $ 3a_ {k-2} $ < / span>

所以因为 $ a_ {k + 1} <= 3a_k $ 和 $ 3a_k <= 3 ^ {k + 1} $ 然后 $ a_ {k + 1} <= 3 ^ {k + 1} $ ，它证明了 $ a_n <= 3 ^ n $ 所有n

是我的证据合法吗？

Answer 1

我们不会证明 $ a_k \ geq 3a_ {k-1} $ 因为它不是真的： $$ a_3= 2a_2 + 3a_1= 2 \ cdot 9 + 3 \ cdot 2= 24 <3 \ cdot 9= 3a_2 $$

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我们也没有 $ a_k <3 ^ $ 对于所有 $ k $ ，由于 $ A_2= 9= 3 ^ 2 $ 。这可能是一个错字。

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让我们通过诱导来证明，对于所有自然的 $ k $ 我们有 $ a_k \ leq 3 ^ k $ 。

我们有那个 $ a_1= 2 \ leq 3= 3 ^ 1 $ 。

假设 $ a_ {k-2} \ leq 3 ^ {k-2} $ 和 $ a_ { K-1} \ LEQ 3 ^ {k-1} $ 。或者您可以假设 $ a_t \ leq 3 ^ t $ 对于所有 $ t 。< / p>

然后 $$ \ begin {aligh} a_k＆= 2a_ {k-1} + 3a_ {k-2} \\ ＆leq 2 \ cdot 3 ^ {k-1} +3 \ cdot 3 ^ {k-2} \\ ＆= 3 \ cdot 3 ^ {k-1} \\ ＆= 3 ^ {k} \结束{align} $$

因此， $ a_ {k} \ leq 3 ^ {k} $ 。

通过归纳，对于所有天然 $ k $ 我们有这个 $ a_ {k} \ leq 3 ^ k $ 。