Rényi-Entropie bei Infinity oder Min-Entropie

Question

Ich lese ein Papier, das sich auf die Grenze bezieht, wenn n in unendlich der Rényi -Entropie geht. Es definiert es als $ {{h} _ {n}} links (x right) = dfrac {1} {1-n} log_2 links ( sum limits_ {i = 1}^{n} {p_ {i}^{n}} rechts) $. Anschließend heißt es, dass das Limit als $ n to Infty $ $- log_2 links (p_1 rechts) $ ist. Ich habe einen anderen Artikel gesehen, der das Maximum des $ {{p} _ {i}} 's $ anstelle von $ {{p} _ {1}} $ verwendet. Ich denke, dass dies ziemlich leicht funktioniert, wenn alle $ {{p} _ {i}} 's $ gleich sind (eine einheitliche Verteilung). Ich habe keine Ahnung, wie ich dies für etwas anderes als eine einheitliche Verteilung beweisen soll. Kann mir jemand zeigen, wie es gemacht wird?

Answer 1

Angenommen, $ p_1 = max_i p_i $. Wir haben $$ p_1^n leq sum_ {i = 1}^n p_i^n leq n p_1^n. $$ daher $$ frac {n log p_1 + log n} {1-n} leq h_n (x) leq frac {n log p_1} {1-n}. $$ als $ n rightarrow Infty $, $ log n/(1-n) rightarrow 0 $, während $ n/(1-n) rightarrow -1 $.