entropia Rényi all'infinito o min-entropia

Question

sto leggendo un documento che fa riferimento al limite per n che tende all'infinito di Rényi entropia. Si definisce come $ {{H} _ {n}} \ left (X \ right) = \ dfrac {1} {1-n} \ log_2 \ left (\ sum \ limits_ {i = 1} ^ {N} {p_ {i} ^ {n}} \ right) $. E poi dice che il limite da $ n \ to \ infty $ è $ - \ log_2 \ left (P_1 \ right) $. Ho visto un altro articolo che utilizza il massimo della $ {{p} _ {i}} 's $ invece di $ {{p} _ {1}} $. Credo che questo funziona abbastanza facilmente se tutto il $ {{p} _ {i}} 's $ sono uguali (una distribuzione uniforme). Non ho idea di come per dimostrare questo per qualcosa di diverso una distribuzione uniforme. Qualcuno mi può mostrare come si fa?

Answer 1

Si supponga che $ P_1 = \ MAX_I p_i $. abbiamo $$ p_1 ^ n \ leq \ sum_ {i = 1} ^ N p_i ^ n \ leq N p_1 ^ n. $$ Perciò $$ \ frac {n \ log p_1 + \ log N} {1-n} \ leq H_n (X) \ leq \ frac {n \ log p_1} {1-n}. $$ Come $ n \ rightarrow \ infty $, $ \ log N / (1-n) \ rightarrow 0 $, mentre $ n / (1-n) \ rightarrow -1 $.