Warum ist die Erfüllung von ESO-Formeln, die nicht der Befriedigung von FO-Formeln entspricht?

Question

Die existentiellen Logik der zweiten Ordnung (ESO) -Formeln haben das Formular $$ \ phi=existiert r_1 ... \ existiert r_k. \ phi $$ Wo $ r_1 ... R_K $ sind Relationssymbole und $ \ phi $ ist eine FO-Formel, Welches können die Relationssymbole $ r_1 ... R_K $ sowie andere Relationssymbole verwenden. Mein Anspruch ist, dass

$ \ phi $ ist erfüllt, wenn und nur wenn $ \ phi $ erfüllt ist .

In der Tat bedeutet Erregelung einer FO-Formel, ein Universum und eine Interpretation aller Relationssymbole zu finden. Daher haben wir eine implizite Quantifizierung $ \ existiert r_1 ... \ existiert r_k $ vor der FO-Formel $ \ PHI $ , wenn er die Erfüllung berücksichtigt. (Zur Gültigkeit hat der Anspruch nicht nicht .)

Aber der Anspruch muss jedoch falsch sein, da Menschen die Befriedigung von ESO getrennt von der von FO studieren. Was vermisse ich?

Answer 1

Sie haben recht: Ein ESO-Satz ist erfüllt, wenn sie "Matrix" erster Ordnung erfolgt - mit Relations- / Funktionsvariablen, die durch entsprechende Relations- / Funktion -Symbole ersetzt werden - ist erfüllt.

ti'm kein Experte hier, aber ich denke, was los ist, ist "sprachlicher Komfort".Es gibt andere verwandte Fragen, in denen wir nicht zusammenkommen.Wenn Sie beispielsweise die Überprüfung, ob ein Satz erster Ordnung in einer bestimmten endlichen Struktur trifft, ist in der Regel schwieriger, als zu prüfen, ob eines seiner "zweitreizenden Bestellungen" in derselben Struktur $ {} trifft$ (Reduct) .Wie Sie sagen, dass Gültigkeit für ESO-Sätze sagen, ist es ausschließlich streng komplizierter als die Gültigkeit für Sätze.Auf diese Weise kann es sich dabei konsequenter anfühlen, über die ESO-Befriedigung zu sprechen, anstatt für die Erfüllung zu sprechen, wenn wir auch über die ESO-Gültigkeit, die ESO-Wahrheit in einer bestimmten Struktur sprechen, usw.