Einzigartiger Nachbar-Expander

Question

Ich möchte Problem 4.10 von Salzw Salil Vadhan lösen. https://people.seas.harvard.edu/~salil/CS225 / Spring15 / PS3.pdf

Betrachten Sie einen BIPARTITE-Expander $ g $ mit links-grad $ D $ , so dass jede Teilmenge $ s $ der linken Scheitelpunkte mit höchstens $ K $ Scheitelpunkte ist mindestens $ (1- \ Epsilon) d | s | $ Nachbarn.Dann hat $ g $ auch über die Eigenschaft, dass sie $ (1-2 \ Epsilon) d | s | $ einzigartige Nachbarn.Einzigartige Bedeutung, dass es genau einen entsprechenden Scheitelpunkt von $ s $ hat.

Ich erkenne, dass der neue Erweiterungsfaktor $ (1-2 \ Epsilon) d= 2 \ cdot (1- \ Epsilon) d -d $

Answer 1

let $ s $ Seien Sie eine Untermenge von höchstens $ K $ Ecken. Lassen Sie $ A_D $ die Anzahl der Scheitelpunkte auf der rechten Seite sein, die mit genau $ D $ -Gercials verbunden sind In $ s $ . Da der linke Abschluss $ D $ ist, $$ \ sum_ {d \ geq 1} da_d= d | s |. $$ Da $ s $ mindestens $ (1- \ Epsilon) d | s | $ Nachbarn, $$ \ sum_ {d \ geq 1} a_d \ geq (1- \ epsilon) d | s |. $$ Deshalb $$ \ sum_ {d \ geq 2} a_d \ leq \ sum_ {d \ geq 1} (d-1) a_d=sum_ {d \ geq 1} da_d - \ sum_ {d \ geq 1} a_d \ leq d | s | | - (1- \ Epsilon) d | s |=Epsilon d | s |. $$ Es folgt dem $$ A_1=SUM_ {D \ GEQ 1} A_D - \ SUM_ {D \ GEQ 2} A_D \ GEQ (1- \ EPSILON) D | S | - \ Epsilon d | s |= (1-2 \ Epsilon) d | s |. $$