Warum sind mathematische Beweise so hart?

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29-09-2020
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Frage

Ich bin elektrischer Ingenieur und versucht, einen Übergang in das Machine zu lernen.Ich habe in mehreren Artikeln gelesen, mit denen ich Datenstrukturen und Algorithmen lernen muss, bevor ich über mathematische Beweise lernen muss.Ich habe angefangen, es alleine zu studieren, indem ich das auf MIT-OCW-Material zur Verfügung stehenden Materialien untersuchte, während ich die Konzepte von Induktion und gut bestellen usw. erfasst ..

Ich habe schon sehr lange mit den Übungen gekämpft und es ist wirklich frustrierend.Ich kann problemlos mit irgendwelchen Arten von Beweise umgehen, die ich zuvor sah (z. B. nachdem ich den Nachweis einer Rezidivanfrage gesehen habe, wurde ich ziemlich gut, sie zu beweisen).Meine Probleme beginnen, wenn ich einer ungewöhnlichen Frage stellte.Ich fühle mich, als würde ich die Beweise auswendige, anstatt zu erfahren.

gibt es irgendwelche Möglichkeiten (oder irgendwelche Ressourcen), die meine Prüffähigkeiten auf eine Weise verbessern können, soweit ich eine ungewöhnliche Frage (wie die Checkers Fliesen- und Schachfliesen Art von Fragen habe), muss ich sie nicht starren2 Stunden vor dem Aufgeben?

Lösung

Ich fühle mich, als würde ich die Beweise auswendige, anstatt zu lernen, wie man sich beweisen soll

Sie kann nicht lernen ", wie er sich beweisen kann. "Proving" ist kein mechanischer Prozess, sondern eher ein kreativer, wo Sie eine neue Technik erfinden müssen, um ein gegebenes Problem zu lösen. Ein professioneller Mathematiker könnte ihr ganzes Leben verbringen, das versucht, eine bestimmte Aussage zu beweisen, und niemals Erfolg haben.

Ich kann problemlos mit irgendeiner Art von Beweise umgehen, die ich zuvor sah (z. Sobald ich den Nachweis einer Rezidivanfrage sah, wurde ich ziemlich gut, um sie zu regieren). Meine Probleme beginnen, wenn ich einer ungewöhnlichen Frage stellte.

das ist normal. Jeder MATHEMATICS "Proofs" -Kurs ist nicht so konzipiert, dass Sie beibringen, wie Sie ein willkürliches Problem mitnehmen können, das Sie noch nie zuvor gesehen haben, und es in der Lage sein können (da niemand, nicht einmal die besten Mathematik-Professoren tun können). Vielmehr sind Ihre Lernziele

.

Erfahren Sie, wie Sie die Beweise "lesen" und ihre Richtigkeit beurteilen

Erfahren Sie, wie Sie einen Beweis in der rechten mathematischen Sprache schreiben können

Erfahren Sie mehr über bekannte Proof-Techniken und wie Sie sie anwenden

Wenn Sie an einem neuen, unbekannten Problem arbeiten, ist es normal, dass Sie es möglicherweise nicht lösen können. Jedoch wissend und mit den gespeicherten anderen Proof-Techniken können Ihnen helfen. Oft besichtigen Beweise, eine neue Idee mit vorhandenen bekannten Proof-Techniken zu kombinieren. Je mehr, desto abwechslungsreicher die Beweise, die Sie bereits kennen, sind, desto besser ist Ihre Chance, das angegebene Problem lösen zu können.

Sie sind auf dem richtigen Weg. Sie sollten einfach die Proof-Techniken untersuchen. Die Übungen, die Sie tun, sind gut. Mach dir keine Sorgen, wenn du stecken bleibst. Wenn Sie erfahrener erfahren und Ihre "Toolbox" von Techniken wächst, können Sie Übungen lösen, die weniger "gleichermaßen" sind, die von Ihnen gesehen haben.

Andere Tipps

, da andere Autoren erwähnt haben, zum Teil weil Beweise inhärent hart sind, aber auch teilweise wegen der kalten Tatsache, dass -Reweise nicht zum Zweck des Unterrichts sind, sogarin den meisten Lehrbüchern.Vielmehr werden die meisten Beweise aus einer Art Verpflichtung ausgerichtet, als eine Art Rund-Away-Argument;Es gilt nicht, dass Proofs überhaupt präsentiert wird, als inakzeptabel, aber schrieb sie in anstrengenden Details, die den Autor herausbrennen und den Leser gefährden, der sich in den Wäldern verlor.Daher sind die meisten Beweise absichtlich erstklassig und lassen viele Punkte ausschließlich für den Leser, um sich zu verbinden.Während manche Leute dies eine hilfreiche Übung finden, finden viele Leser wie Sie und mich die Mathematik unnötig herausfordernd.Aus diesem Grund ist auch der Unterrichtspädagogik in einer Universitätslage für ein professionelles mathematisches Lernen unabdingbar, da die Werkzeuge des Dialogs das Rohling der Lehrbuch-Proofs ausfüllen können.

Ich kann das Buch von G. Polya, sicherlich empfehlen, wie man es löst . Es ist ein Standard-Klassiker, der nicht übersehen wird. Es gibt ein neueres Buch wie man Lesen und Beweise lässt: Eine Einführung in mathematische Gedankenprozesse von Daniellow Solow, die zugänglicher sein kann.

ist in jedem Fall, das Proofs tätig ist, völlig unnatürlich für den Menschen. Es ist eine Disziplin, die sorgfältig nachlässt, dass wir normalerweise nicht verwenden. Wir dienen dazu, viele Annahmen zu machen, um unsere Tage und unser Leben durchzukommen. Wenn wir den ersten von ihnen rechtfertigen müssten, konnten wir nicht aus dem Bett steigen. Ein mathematischer Beweis streift die Annahmen ab und lebt nur, was Sie klar und eindeutig zeigen können.

Ich hatte das ähnliche Problem mit Problemen über trigonometrische Identitäten. Der Versuch, von Anfang an bis zum Ziel zu gelangen, ist einfach, wenn eine bekannte, gelernte Methode vorhanden ist. Identitäten erfordern möglicherweise mehrere Schritte in unbekannten Richtungen ohne viel Richtungsgefühl. Die Beweise sind ein bisschen einfacher, da die Methoden logical ziemlich begrenzt sind und bekannt sind (wenn Sie die Bücher lesen). Behalte dabei.

Ich mag Toms Antwort: Es gibt keine magische Kugel, aber Sie müssen nur Übungen fortsetzen und allmählich werden Sie eine bessere Intuition entwickeln und wissen, wie man ein Problem angreift.

Wie für Ressourcen möchten Sie vielleicht G. Polyas Buch, wie man es löst.Sieht aus wie Der Wikipedia-Artikel gibt einen schönen und etwas detaillierten Überblick.Grundsätzlich bietet das Buch Ihnen eine Strategie oder Methoden für den Umgang mit mathematischen Aussagen und ihrer Beweise.

Warum sind mathematische Beweise so hart? ... Ich muss Datenstrukturen und Algorithmen lernen,

Meine Vermutung ist, dass Sie auch über die Raum- und Zeitkomplexität von Algorithmen erfahren möchten, wie in Big O-Notation quantifiziert. Die Zeitkomplexität, insbesondere Hinweise, warum Beweise schwer sind. Wenn ich Ihnen versprochen habe, gibt es einen Nachweis von höchstens in den meisten Länge $ N $ einer bestimmten Aussage, wie würden Sie es finden? Theoretisch könnten Sie alle Länge des Länge durchlaufen $ \ le n $ bis Sie einen finden, der eine exponentielle Zeit ergibt, sagen Sie $ O (ne ^ {cn}) $ (Ich habe einen Faktor von $ N $ für den Lesezeit aufgenommen). Das ist für unsere Zwecke viel zu ineffizient, es sei denn, $ n $ ist sehr klein. Es könnte ein viel besserer Algorithmus geben, aber niemand hat einen besonders effizienten General gefunden. Deshalb bleibt die Beweis von Dingen eine "kreative" Übung, von der wir meinen ", wissen wir nicht in Pseudocode-Begriffe, wie ein solches Denken funktioniert".

gibt es irgendwelche Möglichkeiten (oder irgendwelche Ressourcen), die meine Prüffähigkeiten auf eine Weise verbessern können, soweit ich eine ungewöhnliche Frage (wie die Checkers Fliesen- und Schachfliesen Art von Fragen habe), muss ich sie nicht starren 2 Stunden vor dem Aufgeben?

Sie rufen solche Fragen ungewöhnlich an, aber Sie wissen, welche Beispiele zu geben. Das ist der Kern des Problems genau dort. Es ist nur "ungewöhnlich" in Ihrer Erfahrung, wenn Sie es nicht gesehen haben (viel). Als andere Antworten nutzen Sie einfach mehr Werkzeuge. Hoffentlich sollten Sie dann sagen können, welche mit einem Problem helfen können. Nach Ihrer Wahl der Beispiele zu urteilen, ist der Einsatz von Invarianten in Beweise, an denen Sie arbeiten könnten. Ich weiß nicht, wie gut Ihre große / kleine O-Notation ist, aber ich werde dieses Thema erneut erwähnen, da es oft nützlich ist, um Ergebnisse zu erweisen, wie etwa Ungleichungen oder irgendetwas von ihnen abhängig, z. Grenzwerte (zumindest wenn Sie einen $ \ VAREPSILON $ - $ \ Delta $ protokollieren ).

Einige Beweise müssen umständlich sein, andere sind einfach umständlich, auch wenn sie einfacher sein könnten, aber der Autor kam nicht mit einer eleganten Möglichkeit, es aufzuschreiben.Wenn Sie mit einem einfachen Beweis kommen, ist noch schwieriger, als ein Beweis zu verstehen, und so viele Beweise sind komplizierter, als sie sein sollten.

Es gibt keinen allgemeinen Rat, wie man Proofs (elegant oder nicht) versteht.Einige Technik, die Sie ausprobieren können, ist, die Erklärung zu widerlegen.Warum funktioniert der Beweis?Was würde passieren, wenn Sie einen der Voraussetzungen für den Beweis verlassen?

Wenn Sie mit der Programmierung schon ziemlich praktisch sind, können Sie gerne lernen, ein interactive Proof Assistant < / a> mögen coq oder mager. Ein Proof-Assistent ist eine Programmiersprache mit einem sehr reichen System, in dem es möglich ist, eine konstruktive Logik auszudrücken. Diese Arten von Sprachen arbeiten weitgehend auf dem Vorgang, dass es eine direkte Analogie zwischen Programmen und ihren Typen auf der Programmierseite gibt, und zwischen den Vorschlägen und Beweisen auf der Mathematikseite. (Dies heißt Curry-Howard Isomorphismus .) .

ein wirklich interessantes Projekt in diesen Zeilen ist der natürliches Nummernspiel . Das Spiel ist Teil eines größeren Programms von mehreren Professoren an der Imperial College of London, um alle Bachelor-Mathematik mit dem Proof-Assistenten Lean . Zu Beginn des Spiels erhalten Sie nur die Peano-Axiome der Arithmetik: 0 ist eine natürliche Zahl, der Nachfolger einer natürlichen Zahl ist eine natürliche Zahl, und der Nachfolger einer natürlichen Zahl ist nicht gleich. Sie dürfen die üblichen Regeln der Prädikatlogik und Induktion verwenden. Das Ziel des Spiels ist es, strenge, formale Beweise für die Eigenschaften von Zusatz, Multiplikat und einigen Basisnummerntheorie aufzunehmen.

Proof-Assistenten Gamify Gamify-Gamify-Gamify-Pur-Mathematik - sie erinnern an die Regeln für Sie und sie geben Ihnen praktisch in Echtzeit ein Feedback. Wenn Sie nach einem Weg suchen, Ihre Fähigkeiten bei der Durchführung von Beweiss durch Selbststudien zu verbessern, denke ich, dass die Proof-Assistenten großartig sind. Darüber hinaus werden sie auch in der formalen Überprüfung von Computerprogrammen verwendet, was eine interessante und beschäftigte Spezialisierung von sichtbar ist.

Ich bin ein elektrischer Ingenieur sowie ein Mathematiker mit dem Training. Nachdem ich meinen Bachelor in EE abgeschlossen hatte, wechselte ich auf Mathematik und erhielt schließlich eine hart verdiente Promotion. Ich werde nicht sagen, dass ich ein besonders helles Kind bin. Ich habe jedoch immer die Mathematik leicht gefunden und folglich langweilig. Dank meines Vaters, auch schon sehr früh (etwa acht oder neun), wusste ich, dass es weit mehr zu Mathematik gibt als meine Schule. Also habe ich es ertragen.

Ich habe auch mein Selbstwertgefühl abgeleitet, von Maths gut zu sein (ja, Wracks wie ich). Ich mache wahrscheinlich noch.

Da ich immer weniger Maths weniger matschte, als ich meine Highschool absolvierte, hatte ich etwas Angst davor. Meine Situation wäre sehr genau so, wie Sie in meinem ersten oder zweiten Jahr des Bachelors, das für mein Selbstwertgefühl sehr schlecht war. Dann habe ich meine Reedukation in Mathematik begonnen - weitgehend von Selbststudium und auch durch Prüfungskurse, die ich auf Kosten meines regulären EE-Lehrplans besuchte. EE, trotzdem war ein Kuchen-Spaziergang für mich. Aber Mathematik erwies sich als sehr harte Nuss, um zu knacken.

Ich habe meine Mathematikstudien nach dem College fortgesetzt, das in das Mathematikprogramm eingeschrieben war, und nach einem langen, harten und frustrierenden Kampf hat meine Promotion fertiggestellt.

Ich weiß nicht, welcher Bereich der Mathematik, die Sie betrachten. Ich werde jedoch keine Online-Ressourcen oder Guest-Vorträge vorschlagen, um den Einstieg in Mathematik zu erhalten. Solche Dinge geben Ihnen nur eine Illusion des Verstehens. Sie werden ein Buch abholen. Sie werden haben , um einen Stift aufzunehmen. Und Sie werden haben , um zu schreiben. Und auch Sie werden den harten Weg lernen, nur den harten Weg. Wenn Sie jemanden haben, mit dem Sie Dinge mit diskutieren, toll! Sonst arbeite in der Dunkelheit.

Um mit jemandem zu beginnen, sprechen Sie mit jemandem, um die ersten paar Bücher für Sie zu erhalten. Ruhe, Sie können sich herausfinden.

Ich kann nicht glauben, dass niemand sonst das erwähnt, aber Sie übertreiben wahrscheinlich, wenn Sie das angewendete Maschinenlernen lernen möchten.Sie wären besser auf der linearen Algebra, und grundlegende Informatik.Es gibt einige großartige Spezialisierungen auf Cursersa - insbesondere der Maschinenlernen und Mathematik für Maschinenlerngleise (es sei: Es gibt eine Kosten, aber Sie können jeden der Kurse individuell kostenlos prüfen - es gibt etwa 8 von ihnen insgesamt zwischen den beiden Spezialisierungen).Die tiefe Lernspezialisierung von Andrew NG (5 Kurse) ist auch fantastisch.Melden Sie sich dann für Kaggle an und wenden Sie an, was Sie lernen.Ich verstehe, dass ich persönlich wissen möchte, wie man mathematische Beweise mit Strenge ableiten soll, aber niemand zahlt Sie dazu, dies in der Produktion zu tun.Sie sind besser, eigentlich, eigentlich Machine zu lernen.

Ich habe sehr lange mit den Übungen gekämpft und es ist Wirklich frustrierend. Ich kann leicht mit jeder Art von Beweiss umgehen, die ich sah vorher (z. B. nachdem ich den Nachweis einer Rezidivanfrage gesehen habe, die ich wurde ziemlich gut, sie zu beweisen). Meine Probleme beginnen, wenn ich einem ungewöhnliche Frage. Ich fühle mich, als würde ich die Beweise merken, anstatt Erfahren Sie, wie Sie beweisen.

Sie wissen also, wie Sie Proofs lesen können, aber Sie finden diese, um schwer zu sein. Ich denke, es gibt wahrscheinlich ein paar Dinge, die relevant sind.

Man ist, dass Unterschiede zwischen den Fähigkeiten, die von verschiedenen mathematischen Lehrbüchern erforderlich sind, exponentiell, nicht linear ist. Ich habe Bücher mit dem Titel "Einführung in x" gesehen, die viel schwieriger sind als Bücher mit dem Titel "Advanced Y". Die Autoren haben unterschiedliche Publikum, und die Schwierigkeitsgraden sind entsprechend anders.

Zweiter, es könnte nur sein, dass, wenn Sie einmal mit Konzepten und Beweisen in einem bestimmten Bereich vertraut sind, leichter werden. Da einige der anderen Antworten dabei zeigen, lassen die Beweise häufig Schritte aus, die der Autor denkt, dass es für ihr beabsichtigtes Publikum offensichtlich ist. Keiner von uns würde einen Beweis dafür erwarten, darauf hinzuweisen, dass zwei plus zwei gleich vier sind. Einige Dinge, die ein Leser völlig geheimnisvoll findet, sind wie $ 2 + 2= 4 $ für andere Leser. Das bedeutet nicht, dass das Buch oder der Artikel nicht für Sie nicht ist. Wenn Sie die fehlenden Schritte durcharbeiten können, erhalten Sie ein tieferes Verständnis des Themas, und nachdem Sie das ein paar Mal, was schwierig war, leichter wird. (Ein Beweis in einem Buch, das ein bisschen zu hart ist, ist wie eine Übung.)

Dritter, ich verstehe, ob Sie nicht zwei Stunden an einen Beweis starren wollen, aber ich denke, dass Sie in dieser Zeit viel lernen können. Was Sie während dieser Zeit tun, ist, durch verschiedene Interpretationen der Konzepte und Schritte zu denken, und mögliche Möglichkeiten, von einem Schritt zum anderen zu gelangen, und darüber nachzudenken, welche Annahmen der Autor im Sinn hatte. Das ist ein Lernprozess, und ich denke, dass das tun, das hilft, andere andere Dinge später zu verstehen, später.

Ich mache viel Selbststudium bei Fächern, die mir nicht vertraut sind. Manchmal verwende ich zwei oder drei Bücher für ein Thema, denn das, was in einem Buch ausgelassen ist, wird in der anderen klarer erklärt. Manchmal finde ich, dass ich Bücher zu anderen Themen lesen muss, weil der Autor angenommen hat, dass ihre Leser alle einen gewissen Hintergrund haben - und ich habe es nicht. Das bedeutet nicht unbedingt, ich habe das gesamte Buch auf dem anderen Thema gelesen. Manchmal habe ich gerade genug gelesen, damit ich das Buch verstehen kann, das ich wirklich verstehen möchte. Dies ist keine schlechte Praxis. Ich lerne am Ende Dinge, die ich nicht daran interessierte, lernen, aber das sich später als nützlich erweisen würde.

(vielleicht scheint das alles offensichtlich, aber hoffentlich ist ein Kommentar hier hilfreich für jemanden.)

Es klingt nach Ihrem Problem, dass Ihnen Erfahrung mit logischer Argumentation im Allgemeinen fehlt. Die Tatsache, dass Sie ähnliche Theorems leicht beweisen können, indem Sie einen Beweis anpassen, den Sie zuvor gesehen haben, zeigt, dass Sie kein Problem mit Verständnis von Beweisen haben. Aber ich vermute, Sie haben nie gelernt, dass die logische Erstbestellung nie gelernt wurde, was eine notwendige Zutat in echter mathematischer Argumentation ist. Sobald Sie ein deduktives System für fol (für das ich den Fitch-Stil empfehst) lernt, wird es eigentlich einfach, mit willkürlichen Bereichen der Mathematik umzugehen, auch wenn sie völlig neu sind. Es gibt jedoch einen Voraussage, der etwa die Hälfte der Anstrengung ist, um eine neue Programmiersprache zu lernen. Also lasse ich Sie entscheiden, ob Sie es versuchen oder nicht.

Unabhängig vom Lernen von FOL, benötigen Sie auch eine Quelle für die Praxis, und daher empfehle ich Wie erweist man es von Daniel Velleman. Es lehrt Ihnen ein bisschen logische Argumentation, und es gibt Ihnen viele ordentliche und interessante Dinge, um zu beweisen.

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