Regelmäßigkeit einer Sprache, die aus einer wissenschaftlichen Sprache errichtet wurde

Question

Ich arbeite in regelmäßigen Sprachen, und stieß ein Problem, das auf ein Problem auftritt, das die folgende Sprache anzeigt, dass die folgende Sprache regelmäßig ist, da der $ A $ ist Eine normale Sprache: $$ \ {x | existiert n \ ge 0 \; \ existiert \ in einem \; y= x ^ n \} $$

Ich habe versucht zu zeigen, dass dies von einem Widerspruch mit MyHill-Nerode regelmäßig ist, indem er angenommen wird, dass es ein unendlicher Index hat, und zeigt das bedeutet, dass $ A $ muss ein unendlicher Index haben. Ich schien jedoch nicht, dass ich diesen Beweis dafür erscheint, zu arbeiten, denn das Einnehmen von Vertretern jeder Klasse, in denen ich eine unendliche Anzahl von Elementpaaren in $ A $ zeigt, die nicht in sind Dieselbe Klasse, aber diese Elemente entsprechen jedoch nicht eindeutig meinen Vertretern, daher kann ich nicht zeigen, dass ein Element nicht in derselben Klasse so unendlich viele andere ist.

Das Buch scheint jedoch anzugeben, dass die Lösung aufbau sein sollte. Ich kann auch leicht die Konstruktion für ein NFA sehen, wenn $ n $ behoben wurde, aber dies scheint keine Hilfe zu bieten, da dies die Staaten von < Span-Klasse="Math-Container"> $ n $ (mithilfe von Tupel von Staaten und gleichzeitig einstufigen Zuständen).

Wenn jemand vorschlagen könnte, wie man die benötigten Automaten konstruiert, wäre das sehr hilfreich.

Answer 1

Wie Sie erwähnen, wenn $ N $ behoben wurde, ist dies nicht zu schwierig, um zu beweisen. Die Idee wäre also darin, das in der Tat zu zeigen, dass $ N $ A-Priori in Abhängigkeit von $ begrenzt werden kann A $ und nicht auf $ x $ .

an dieses Ende, betrachten Sie ein Wort $ X \ in \ Sigma ^ * $ , und nehme an, $ x ^ m \ in einem $ für einige $ m $ . Lassen Sie $ K $ die Anzahl der Zustände in einigen DFA $ D $ für $ A $ (zB minimal dfa). Angenommen, $ M> K $ , dann gibt es $ 0 \ le i so, dass das Der Lauf der $ D $ auf $ x ^ i $ erreicht den gleichen Zustand wie auf $ x ^ J $ . Dies bedeutet jedoch, dass $ x ^ {span> auch von $ D $ akzeptiert wird .

Somit reicht es aus, um $ n \ le k $ zu berücksichtigen. So können Sie Ihre Sprache als neu schreiben wie $$ \ {x | \ existiert n \ le k, \ x ^ n \ in a \} $$ Und das ist regelmäßig.