Régularité d'une langue construite d'une langue courante

Question

Je travaille à travers des questions de manuels de manuels dans des langues ordinaires et rencontré un problème qui permet de montrer que la langue suivante est régulière, étant donné que $ a $ est Une langue régulière: $$ \ {x | \ existez n \ ge 0 \; \ existe y \ dans un \; y= x ^ n \ \} $$

J'ai tenté de montrer que cela est régulier par une contradiction à l'aide de MyHill-Nerode, en supposant qu'il a un indice infini et en montrant cela signifie que $ A $ A $ Doit avoir un index infini. Cependant, je ne peux pas sembler avoir cette preuve de travail, car les représentants de chaque classe me permettent de montrer un nombre infini de paires d'éléments dans $ a $ qui ne sont pas dans La même classe, mais ces éléments ne correspondent pas de manière unique à mes représentants, donc je ne peux pas montrer qu'un élément n'est pas dans la même classe que d'infiniment beaucoup d'autres.

Cependant, le livre semble indiquer que la solution devrait être une construction. Je peux aussi facilement voir la construction d'une NFA si $ n $ a été corrigé, mais cela ne semble pas offrir aucune aide, car cela rend les états dépendent de < SPAN CLASS="MATH-CONTENEUR"> $ N $ (en utilisant des utilles d'états et des états en mouvement simultanément une fois).

Si quelqu'un pouvait suggérer comment faire de la construction de l'automate requis, ce serait très utile.

Answer 1

Comme vous le mentionnez, si N $ N $ a été corrigé, il n'est pas trop difficile de prouver. Donc, l'idée serait de montrer que, en fait, $ n $ peut être délimitée A-Priori, selon que sur $ A $ , et pas sur $ x $ .

à cette fin, considérez un mot $ x \ in \ sigma ^ * $ et supposons $ x ^ m \ dans un $ pour certains $ m $ . Laissez $ k $ être le nombre d'états dans certaines DFA $ d $ pour $ A $ A $ (p. Ex. DFA minimal). Supposons M $ M> K $ , il existe alors $ 0 \ LE I la course de $ d $ sur $ x ^ i $ atteint le même état que sur x ^ j $ . Mais cela implique que $ x ^ {m- {ji}} $ est également accepté par $ d $ .

Ainsi, il suffit de considérer $ n \ le k $ . Afin que vous puissiez réécrire votre langue comme $$ \ {x | \ existez n \ le k, \ x ^ n \ in a \} $$ Et c'est régulier.