Lösen von Rezidiven

Question

Am versuchen, die gegebenen Rekursion zu lösen, Rekursionsbaum Verwendung T(n) = 3T(n/3) + n/lg n.

In der ersten Ebene (n/3)/(log(n/3)) + (n/3)/(log(n/3)) + (n/3)/(log(n/3)) = n/(log(n/3)).

In der zweiten Ebene stellt sich heraus, n/(log(n/9)) zu sein.

Kann ich die obige Gleichung in Form von n.loglogn verallgemeinern

Dies ist ein allgemeiner Zweifel ich habe, ich brauche einen Einblick zu diesem Thema.

Hinweis: Jede Funktion, die in dieser Funktion k wird Theta(n^k log^k (n)) muss sollte> = 1. Und in diesem Fall k -1 so Master-Theorem nicht in zu Bild kommt

Answer 1

Es ist wahr, die Master-Theorem gilt nicht.

T (n) = 3T (n / 3) + n / logn.

Es sei g (n) = T (n) / n.

Dann n g (n) = 3 (n / 3) * g (n / 3) + n / logn.

So

g (n) = g (n / 3) + 1 / n log.

Dies ergibt g (n) = Summe 1 / log n + 1 / log n / 3 + 1 / log n / 9 + ...

= Theta (Summe 1 / log n + 1 / (log n -1) + 1 / (log n - 2) + ...) = Theta (Integral 1 / x zwischen 1 und log n) = Theta (log log n ).

So T (n) = n g (n) = Theta (n log logn).

Sie ahnen es richtig.

Answer 2

Wenn Sie einen Baum verwenden, um die Frage zu visualisieren, werden Sie sehen, dass die Summe der einzelnen Rang ist:

• rank 0:

(die n / log gleich (n))  - Rang 1:

und so weiter, mit einer allgemeinen Summe n/log(n/(3^i)) für jeden Rang, wobei i der aktuelle Rang. so, wir alle zusammen bekommen:

Wenn wir die Gleichung öffnen wir bekommen:

(ab Ende und rückwärts .. zuerst, wenn i = log (base3) n und dann zurück)

da Logbase in Theta egal ist, erhalten wir:

das ist:

, die (in Sigma) ist:

, die eine harmonische Reihe ist gleich:

und da ln log mit einer Basis von e ist, und log Basen keine Rolle in Theta, wir schließlich erhalten:

, die gleich:

Es ist also Theta (n log log n).