Solución de recurrencias

Question

Estoy tratando de resolver el recursividad dado, utilizando la recursividad árbol, T(n) = 3T(n/3) + n/lg n.

En el primer nivel (n/3)/(log(n/3)) + (n/3)/(log(n/3)) + (n/3)/(log(n/3)) = n/(log(n/3)).

En el segundo nivel que resulta ser n/(log(n/9)).

¿Puedo generalizar la ecuación anterior en la forma de n.loglogn

Esta es una duda general, no tengo, necesito una visión sobre esto.

Nota: Cualquier función que tiene que ser Theta(n^k log^k (n)) en que la función de k debe> = 1. Y en este caso es k -1 de manera teorema maestro no viene en imaginar

Answer 1

Es cierto, el teorema del Maestro no se aplica.

T (n) = 3T (n / 3) + n / logn.

Sea g (n) = T (n) / n.

A continuación, n g (n) = 3 (n / 3) * g (n / 3) + n / logn.

Así

g (n) = g (n / 3) + 1 / log n.

Esto da g (n) = Sum 1 / log n + 1 / log n / 3 + 1 / log n / 9 + ...

= Theta (Sum 1 / logn + 1 / (log n -1) + 1 / (log n - 2) + ...) = Theta (Integral 1 / x entre 1 y logn) = Theta (log log n ).

Por lo tanto T (n) = n g (n) = Theta (n logn log.)

Lo has adivinado bien.

Answer 2

Si utiliza un árbol para visualizar la pregunta, verá que la suma de cada rango es:

• rango 0:

(que es igual a n / log (n))  - rank 1:

y así sucesivamente, con una suma general de n/log(n/(3^i)) para cada rango, siendo i el rango actual. así, todos juntos tenemos:

si abrimos la ecuación obtenemos:

(empezando desde el extremo y va hacia atrás .. primero cuando i = log (BASE 3) n y luego volver)

desde la base de registro no importa en theta, obtenemos:

que es:

que es (en sigma):

que es una serie armónica, igual a:

y desde ln es iniciar sesión con una base de correo e inicie sesión bases no importan en theta, por fin tenemos:

que es igual a:

así, es theta (n log log n).