Bound superior en el número promedio de superposiciones para un intervalo dentro de un conjunto de intervalos

Question

Permitir $ \ mathcal {i} $ ser un conjunto de intervalos con cardinalidad $ l $ , Donde cada intervalo $ i_i \ in \ mathcal {i} $ es del formulario $ [A_I, B_I] $ y $ a_i, b_i $ están parcialmente distintos enteros no negativos delimitados por un constante $ C $ es decir, $ 0 \ leq a_i . Decimos un par de intervalos $ i_i, i_j \ in \ mathcal {i} $ superposición si la longitud de la superposición es $ > 0 $ .

Defina una función $ f (i) $ que calcula la cantidad de intervalos en $ \ mathcal {i} \ BackslashSh I_I $ ese intervalo $ i_i $ superposiciones con. \ comienza {ecuación} F (i)=sum_ {j= 1, j \ neq i} ^ {l} superposición (i_i, i_j) \ End {ecuación} Donde la función $ SuperPlap (i_i, i_j) $ es una función indicadora que devuelve 1 si $ i_i, i_j $ superposición, de lo contrario, devuelve 0.

El número promedio de superposos para los intervalos en $ \ mathcal {i} $ , denotado por $ avg (\ Mathcal {i}) $ está dado por $ prom promes (\ mathcal {i})=dfrac {\ sum_ {i= 1} ^ {l} F (i )}} {L} $ .

La pregunta es, supongamos que se nos permite elegir los intervalos en el conjunto $ \ mathcal {i} $ con las siguientes condiciones adicionales:

1. para cualquier $ t \ in [0, c] $ , tenemos en la mayoría $ m $ (y intervalos de $ m ) en $ \ mathcal {i} $ tal que $ t $ está contenido dentro de esos $ m $ intervalos. Dicho de otra manera, a la mayoría de los intervalos de $ Math-contenedor matemático "> $ m $ en cualquier momento.
2. Cualquier intervalo en $ \ mathcal {i} $ se superpone con en la mayoría $ k $ otros intervalos , y $ m .

entonces, ¿qué es un límite superior en $ prom promes (\ mathcal {i}) $ para cualquier opción de los intervalos en $ \ mathcal {i} $ ¡Satisfacer 1, 2?

En caso de que se esté preguntando, este problema es de interés para mí para poder estudiar la hora de ejecución de un algoritmo de programación.

No puedo encontrar un límite superior no trivial para $ AVG (\ Mathcal {i}) $ y estaría interesado en saber si el problema Dicho esto ha sido estudiado. También estoy abierto a ideas sobre cómo se puede obtener un límite superior apretado para $ AVG (\ Mathcal {i}) $ .

Answer 1

Si ignoramos $ l $ y enfocamos solo en los parámetros $ c, k, m $ , el siguiente límite superior es asintóticamente apretado, es decir, se trata de lo mejor que puede hacer, hasta un factor constante:

$$ \ texto {promot} (\ mathcal {i}) \ le \ min (mc, k). $$

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Prueba de que es un límite superior: corregir cualquier intervalo. Nos prometemos que se superpone a la mayoría de $ k $ otros. Además, el intervalo tiene como máximo $ C $ puntos en él, por lo que por un sindicato unido sobre esos puntos, también podemos inferir que se superponga con la mayoría de $ MC $ otros. Por lo tanto, se superpone a la mayoría de los $ \ min (MC, K) $ otros. Ahora, el promedio de un montón de números que son todos $ \ le \ min (MC, K) $ será $ \ le \ min (MC, K) $ .

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Prueba de que está apretada: mostraré la construcción de un conjunto de intervalos donde $ \ texto {promot} (\ mathcal {i}) \ sim \ min (mc, k ) / 4 $ . Hay dos casos:

• Caso 1: $ k \ ge mc $ . Luego usa $ m / 2 $ copias de cada intervalo del formulario $ [i, i] $ ( es decir, cada intervalo de longitud-0), y use $ m / 2 $ copias del intervalo $ [1, c] $ . Puede observar que este último se interseca con $ \ SIM MC / 2 $ otros intervalos (y todos se intersectan con menos de $ K $ ). Por lo tanto, el promedio es sobre $ MC / 4 $ . Esto proporciona una colección de intervalos donde cada punto se interseca con $ m $ intervalos, cada intervalo se interseca con $ \ le k $ < / span> otros, y $ \ texto {promot} (\ mathcal {i}) \ SIM MC / 4=min (MC, K) / 4 $ .

• Caso 2: $ k . Establecer $ c '= k / m $ , aplique la construcción anterior al intervalo $ [1, c'] $ < / span> en lugar de $ [1, c] $ , y obtenemos una colección de intervalos donde cada punto se interseca con $ M $ intervalos, cada intervalo se interseca con $ \ le k $ otros, y $ \ texto {promot} (\ Mathcal {I}) \ SIM MC '/ 4= K / 4=min (MC, K) / 4 $ .

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Si también le importa la dependencia de $ l $ , es posible que pueda desarrollar el análisis anterior para ver cómo podría depender de $ l $ .