間隔内の間隔の平均重なり数の上限

Question

$ \ mathcal {i} $ は、Cardinality $ l $ の一連の間隔であることです。各間隔 $ i_i \ in \ は、 $ [a_i、b_i] $ と $ a_i、b_i $ は、定数 $ c $ によって制限されたペア単位の異なる不負の整数です。 IE $ 0 \ leq a_i 。 intempars $ i_i、i_j \ in \ mathcal {i} $ オーバーラップ $ > 0 $ 。

関数 $ f（i）$ $ \ mathcal {i} \ \ \ BackSlash I_I $ その間 $ i_i $ の重複。 \ begin {方程式} f（i）=sum_ {j= 1、j \ neq i} ^ {l}オーバーラップ（i_i、i_j） \ end {方程式} 関数 $ OBIRAP（i_I、i_j）$ は、 $ i_i、i_j $ オーバーラップ、それ以外の場合は0.

$ avg（\ avg）で示されている $ \ mathcal {i} $ の間隔の平均値数mathcal {i}）$ は $ avg（\ mathcal {i}）=dfrac {\ sum_ {i= 1} ^ {l} f（i

} {l} $} {l} $}

質問は、set $ \ mathcal {i} $ の間隔を選択できるとします。

$ t \ in [0、c] $ の場合、 $ m $ （および $ m ）間隔内の $ t $ は、それらのspan class="math-container"> $ m $ の間隔内に含まれています。異なる $ m $ 間隔は、任意の時点で任意の時点で重複しています。
1. $ \ mathcal {i} $ の任意の間隔 $ k $ その他の間隔と重複、 $ m 。

その後、 $ avg（\ mathcal {i}）$ とは何ですか。数学コンテナ "> $ \ mathcal {i} $ 満足1,2？

あなたが疑問に思っている場合、この問題はスケジューリングアルゴリズムのランタイムを研究できるようにするために私にとって興味深いです。

$ avg（\ mathcal {i}）$ のための非些細な上限を思いつくことができず、問題があるかどうかを知ることに興味があるでしょう私は述べられています。私はまた、 $ avg（\ mathcal {i}）$ のためのタイトな上限を得ることができるかもしれない方法についてのアイデアにも開かれています。

Answer 1

$ l $ を無視した場合 $ c、k、m $ に焦点を合わせる、次の上限は漸近的にタイトです、すなわち、それはあなたができる最善について、一定の要因まで：

$$ \ text {avg}（\ mathcal {i}）\ le \ min（mc、k）。$$

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それが上限であることを証明する：任意の間隔を修正してください。 $ k $ と重複すると約束されています。また、間隔は、 $ c $ のポイントを持ちます。そのため、それらのポイントに境界が縛られても、 $ MC $ その他。したがって、 $ \ min（mc、k）$ と重複しています。現在 $ \ le \ min（mc、k）$ である数字の束の平均値は $です。 \ le \ min（mc、k）$ 。

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それがタイトだという証明： $ \ text {avg}（\ mathcal {i}）\ sim \ min（mc、k）の一連の間隔の構築を表示します。 ）/ 4 $ 。 2つのケースがあります：

• ケース1： $ k \ ge mc $ 。次に、 $ m / 2 $ を使用します。 $ [i、i] $ の各間隔の各間隔のコピーを使用します（ IE、各長さ-0間隔）、および $ m / 2 $ を使用します。 $ [1、c] $ 。後者が $ \ sim mc / 2 $ と交差することを観察することができます（そして $より少ないすべての交差点） k $ ）したがって、平均は $ mc / 4 $ です。これにより、各点が $ m $ の間隔と交差する間隔のコレクションを与えます。各間隔は $ \ le k $ <と交差します。 / SPAN>その他、および $ \ text {avg}（\ mathcal {i}）\ sim mc / 4=min（mc、k）/ 4 $ 。

• ケース2： $ k 。 set $ c '= k / m $ には、上記の構造をinterval $ [1、c'] $ < / SPAN> $ [1、c] $ の代わりに、各点が $と交差する間隔の集まりを取得します。 m $ 間隔、各間隔は $ \ le k $ と交差し、 $ \ text {avg} （\ mathcal {i}）\ sim mc '/ 4= k / 4=min（mc、k）/ 4 $ 。

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$ l $ への依存関係を気にする場合は、上記の分析を作成して $ L $ 。