일련의 간격 내의 간격 동안의 평균 겹침 수에 상한 묶음

Question

$ \ mathcal {i} $ 카디널리티 $ l $ , 각 간격 $ i_i \ in \ mathcal {i} $ 은 $ [a_i, b_i] $ 및 $ A_I, B_I $ 은 상수 $ C $ 에 의해 경계 된 쌍으로 별개의 음수 정수입니다. IE $ 0 \ LEQ A_I . 우리는 $ i_i, i_j \ \ \ mathcal {i} $ \ \ mathcal {i_j \ in \ mathcal {i_j \ in of of of of overl of overl of overl of overl of of overlap $ > 0 $ .

함수 $ f (i) $ $ \ mathcal {i} \ Backslash I_I $ 해당 간격 $ i_i $ 과 겹칩니다. \ begin {방정식} f (i)=sum_ {j= 1, j \ neq i} ^ {l} 겹침 (i_i, i_j) \ end {방정식} 함수 $ overlap (i_i, i_j) $ 은 $ i_i, i_j $ 오버랩, 그렇지 않으면 0을 반환합니다.

$ \ mathcal>, $ avg (\ Mathcal {i}) $ 은 $ avg (\ mathcal {i})=dfrac {\ sum_ {i= 1} ^ {l} f (i )} {l} $ .

다음과 같은 추가 조건으로 $ \ mathcal {i} $ 세트의 간격을 선택할 수 있다고 가정합니다.

1. $ t \ in [0, c] $ , 우리는 대부분의 $ m $ (및 $ m ) $ \ mathcal {i} $ class="수학 컨테이너"> $ T $ 은 해당 $ m $ 간격에 포함됩니다. 대부분의 $ m $ 간격 간격은 어떤 시점에서도 간격을 겹치게되었다.
2. $ \ mathcal> 대부분의 $ k $ 다른 간격과 겹치는 및 $ m .

$ avg (\ mathcal {i}) $ 에 상한이란 무엇입니까? 수학 용기 "> $ \ mathcal {i} $ 만족 1, 2?

궁금해 할 경우, 스케줄링 알고리즘의 런타임을 연구 할 수 있도록이 문제는 나에게 관심이 있습니다.

$ avg (\ mathcal {i}) $ 에 대한 사소한 상한을 올리면 문제가 있는지 알고 싶습니다. 나는 연구되었다. 또한 $ AVG (\ MATHCAL {i}) $ 에 대해 좁은 상한을 얻을 수있는 방법에 대한 아이디어에도 열려 있습니다.

Answer 1

$ l $ 을 무시하고 매개 변수 $ c, k, m $ 다음의 상한은 점도적으로 단단합니다. 즉, 일정한 요소까지 최대한의 최선을 다합니다.

$$ \ text {avg} (\ mathcal {i}) \ le \ min (mc, k). $$

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상한이 있음을 증명합니다. 모든 간격을 수정하십시오. 우리는 대부분의 $ k $ 다른 사람들과 겹치고 있습니다. 또한 간격은 대부분의 $ C $ 포인트에 있으므로 노조가 해당 포인트를 바인드하는 노동 조합으로, 우리는 또한 대부분의 $ MC $ 다른 사람들. 따라서 대부분의 $ \ min (mc, k) $ 다른 것과 겹칩니다. 이제 모든 $ \ le \ min (mc, k) $ 자체가 $ \ le \ min (mc, k) $ .

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꽉 끼는 증명 : $ \ text {avg} (\ mathcal {i}) \ sim \ min (MC, K) ) / 4 $ .

에는 두 가지가 있습니다

• 케이스 1 : $ k \ ge mc $ . 그런 다음 $ [i, i] $ 의 각 간격의 각 간격의 사본을 $ m / 2 $ 을 사용하십시오 ( 즉, 각 길이 -0 간격), $ m / 2 $ $ [1, c] $ . $ \ sim mc / 2 $ 다른 간격으로 각각의 교차 ( $ "> $ k $ ). 따라서 평균은 $ MC / 4 $ 입니다. 이는 각 포인트가 $ M $ 간격으로 교차하는 간격 컬렉션을 제공합니다. 각 간격은 $ \ le k $ < / span> 기타 및 $ \ text {avg} (\ mathcal {i}) \ SIM MC / 4=mA (mc, k) / 4 $ .

• 케이스 2 : $ k . $ C '= K / M $ 을 설정하고, 간격 $ [1, C'] $ < / span> $ [1, c] $ 대신 각 포인트가 $와 교차하는 간격 모음을 얻습니다. M $ 간격, 각 간격은 $ \ le k $ 기타 및 $ \ text {avg}와 교차합니다. (\ Mathcal {i}) \ SIM MC '/ 4= K / 4=min (MC, K) / 4 $

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$ L $ 에 대한 의존성을주의도 적용하면 위의 분석을 빌드하여 $ L $ .