¿Por qué la satisfacción de las fórmulas ESO no es igual a la satisfacción de las fórmulas de FO?

Question

Las fórmulas existenciales de lógica de segundo orden (ESO) tienen el formulario $$ \ phi=existe R_1 ... \ existe R_K. \ phi $$ donde $ r_1 ... r_k $ son símbolos de relación y $ \ phi $ es una fórmula, Lo que puede usar los símbolos de relación $ r_1 ... r_k $ , así como otros símbolos de relación. Mi reclamo es que

$ \ phi $ es satisfactorio si y solo si $ \ phi $ es satisfecho .

De hecho, la satisfacción de una fórmula de FO significa encontrar un universo y una interpretación de todos los símbolos de relación. Por lo tanto, tenemos una cuantificación implícita $ \ existe r_1 ... \ existe r_k $ frente a la fórmula $ \ Phi $ , al considerar la satisfacción. (Para validez, el reclamo lo hace no sostener.)

Pero la reclamación debe estar equivocada ya que las personas estudian la satisfacción del ESO por separado de la de FO. ¿Qué extraño?

Answer 1

Usted está bien: una oración ESO es satisfecha si su matriz "de primer orden", con variables de relación / función reemplazada por los símbolos de relación / función de Relación / Función correspondientes - es satisfactorio.

Ti'm No es un experto aquí, pero creo que lo que está pasando es "conveniencia lingüística".Hay otras preguntas relacionadas donde no obtenemos la coincidencia.Por ejemplo, verificar si una oración de primer orden es verdadera en una estructura finita dada, generalmente es más difícil que verificar si una de sus "posiciones de segunda ordenización" es verdadera en esa misma estructura $ {}$ (reduce) .De manera similar, como usted dice la validez de las oraciones de ESO es estrictamente más complicado que la validez de las oraciones de FO.De esta manera, puede sentirse más consistente para hablar sobre la satisfacción de ESO en lugar de la satisfacción de FO, si también estamos hablando de la validez de ESO, la verdad de ESO en una estructura determinada, etc.