Muestra que la desigualdad tiene para todos los enteros positivos.

Question

$ a_1= 2, a_2= 9, a_n= 2a_ {n-1} + 3a_ {n-2} $ para $ n>= 3 $

Mostrar $ a_n <3 ^ n $ para todos los enteros positivos N

Case base: $ a_3= 2 * 9 + 3 * 2= 24 <= 3 ^ 3 $ es verdadero

Hipótesis: $ a_k <= 3 ^ k $ para $ k \ epsilon \ mathbb {n} $ , show $ a_ {k + 1} <= 3 ^ {k + 1} $

Comenzar:

$ a_k <= 3 ^ k $ implica $ 3A_K <= 3 ^ {K + 1} $

Por definición: $ a_ {k + 1}= 2a_k + 3a_ {k-1} $

$ 2A_K + 3A_ {K-1} <= 2A_K + A_K= 3A_K <= 3 ^ {K + 1} $

Porque $ 3A_ {K-1}= 2A_ {K-1} + A_ {K-1}= 2A_ {K-1} + 2A_ {K-2} + 3a_ {k-3} $

$ 3A_ {k-1} $ siempre será más pequeño que $ a_k $ porque $ 2A_ {K-2} + 3A_ {K-3} $ es siempre más pequeño que $ 3A_ {K-2} $ < / span>

SO NORTECER $ A_ {K + 1} <= 3A_K $ y $ 3A_K <= 3 ^ {K + 1} $ luego $ a_ {k + 1} <= 3 ^ {k + 1} $ que demuestra $ a_n <= 3 ^ n $ para todos n

es mi legítimo de prueba?

Answer 1

No vamos a demostrar que $ A_K \ GEQ 3A_ {K-1} $ porque no es cierto: $$ A_3= 2A_2 + 3A_1= 2 \ CDOT 9 + 3 \ CDOT 2= 24 <3 \ CDOT 9= 3A_2 $$

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Tampoco tenemos $ a_k <3 ^ k $ para todos $ k $ , desde $ a_2= 9= 3 ^ 2 $ . Eso es probablemente un error tipográfico.

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Probemos, por inducción, que para todos los $ k $ tenemos $ a_k \ leq 3 ^ k $ .

Tenemos ese $ a_1= 2 \ leq 3= 3 ^ 1 $ .

Supongamos que $ a_ {k-2} \ leq 3 ^ {k-2} $ y $ a_ { k-1} \ leq 3 ^ {k-1} $ . O puede asumir que $ a_t \ leq 3 ^ t $ para todos $ t . < / p>

entonces $$ \ comienza {align} A_K &= 2A_ {K-1} + 3A_ {K-2} \\ & \ leq 2 \ CDOT 3 ^ {K-1} +3 \ CDOT 3 ^ {K-2} \\ &= 3 \ CDOT 3 ^ {K-1} \\ &= 3 ^ {k} \ End {align} $$

Por lo tanto, $ a_ {k} \ leq 3 ^ {k} $ .

por inducción, para todo natural $ k $ tenemos ese $ a_ {k} \ leq 3 ^ k $ .