Générer un diagramme de bifurcation pour un système 2D

Question

Dessiner un diagramme de bifurcation pour un système 1D est clair mais si j'ai un système 2D sur le formulaire suivant dx/dt=f(x,y,r), dy/dt=g(x,y,r)

Et je veux générer un diagramme de bifurcation dans MATLAB pour x par rapport à r.Quelle est l'idée principale pour faire cela ou des conseils qui pourraient m'aider ?

Answer 1

Il faut d'abord faire quelques calculs :

La mise à zéro de chacune des fonctions vous donne deux fonctions y(x) (appelées nullclines), que vous pouvez tracer dans un diagramme de phases.Là où les deux lignes se croisent se trouvent les points fixes (équilibres) de votre système.

Maintenant, vous devez prendre le jacobien de votre système et brancher chacun de ces points fixes, ce qui vous donnera l'analyse de stabilité linéaire du système.

L'emplacement des points fixes et la stabilité de chaque point peuvent maintenant être calculés en faisant varier r (le paramètre de bifurcation).

Pour la programmation :

-utiliser la méthode de Newton (frésoudre en matlab) pour trouver où les équations sont nulles -eig vous aidera à trouver les valeurs propres du système.

Cependant

Cela dépend de votre système.

Si vous êtes censé rechercher des cycles limites, du chaos ou quelque chose du genre, vous devrez utiliser l'un des solveurs d'odes et l'analyse deviendra alors plus délicate.Je suppose que vous pourriez développer un algorithme poincare-bendixson, mais cela serait impliqué et les détails dépendraient de votre système.

Answer 2

Je ne pense pas que MATLAB ait quoi que ce soit intégré qui vous donnerait un diagramme de bifurcation.Il existe cette solution tierce :

http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/8382