Pourquoi la satisfaction des formules ESO n'est-elle pas égale à la satisfaction des formules des FO?

Question

Les formules de logique de second ordre existentielle (ESO) ont la forme $$ \ phi=existe r_1 ... \ Existe r_k. \ phi $$ où $ r_1 ... r_k $ sont des symboles de relation et $ \ phi $ est une formule FO, qui peut utiliser les symboles relativement $ r_1 ... r_k $ ainsi que d'autres symboles de relation. Ma réclamation est que

$ \ phi $ est satisfible si et seulement si $ \ phi $ est satisfiable .

En effet, la satisfaction d'une formule FO signifie trouver un univers et une interprétation de tous les symboles de relation. Par conséquent, nous avons une quantification implicite $ \ existez r_1 ... \ existez r_k $ devant la formule Fo FO FORMULA $ \ Phi $ , lors de la satisfaction de la satisfaction. (Pour la validité, la réclamation pas maintien.)

Mais la réclamation doit avoir une erreur car les gens étudient la satisfaction de l'ESO séparément de celle de FO. Qu'est-ce que je manque?

Answer 1

Vous avez raison: une phrase ESO est satisfiatable IFF sa «matrice» de premier ordre - avec des variables de relation / fonction remplacées par la relation / fonction correspondante symboles - est satisfiablement.

TI'M pas un expert ici, mais je pense que ce qui se passe est "commodité linguistique".Il y a d'autres questions connexes où nous ne recevons pas la coïncidence.Par exemple, vérifiez si une phrase de première commande est vraie dans une structure finie donnée est généralement plus difficile que de vérifier si l'une de ses "secondes ordonnations" est vraie dans la même structure $ {}$ ('s réducteur) .De même, comme vous dites que vous dites que la validité des phrases ESO est strictement plus compliquée que la validité des phrases de FO.De cette manière, cela peut se sentir plus cohérent de parler de la satisfaction de l'ESO plutôt que de la satisfaction de l'ESO si nous sommes aussi parler de validité de l'ESO, ESO vérité dans une structure donnée, etc.