"Problème" entrées non halte pour les machines de Turing

Question

Laissez-nous démarrer cette question en définissant pour une machine de Turing, l'ensemble des mots qu'il n'est pas arrêté. Définir: $ P (M)={W \ in \ SIGMA ^ * | M $ ne s'arrête pas sur $ w \} $

Nous savons que la $ HALT $ problème est $ re \ seminus r $ - donc chaque tm $ m $ qui calcule $ halte $ a un mot qu'il ne s'arrête pas, c'est-à-dire $ p (m) \ ne \ vienttyset $ .

De cela, provoque la question (simple):

$ q (1): $ "est un problème indéciable si et seulement si chaque TM qui calcule, il a un" problématique "non vide $ p (m) $ ? " $ ^ {q \ espace (1)} $

En outre, notons que pour la $ HALT $ Problème Nous savons que donné $ M $ calcule, il y a infiniment de nombreuses intrants qu'elle n'arrêtera jamais (j'encourage à réfléchir à la raison pour laquelle cela est le cas, avant de continuer dans la poste)

Donc, de la même manière, nous voudrions peut-être nous demander la version (légèrement) plus difficile de la première question.

$ q (2): $ "est un problème indéciable iff chaque tm $ M $ Calcule il a $ | p (m) |=aleph_0 $ ? " $ ^ {q \ espace (2)} $

En outre - Demandons une question encore plus forte:

$ q (3): $ "si $ l $ est indécitable, allons-nous toujours être Capable de trouver un FINITE Ensemble de machines Turing $ M_1, ..., M_N $ qui calculez $ L $ et avoir $ \ bigcap_ {k \ space=espace0} ^ np (m_k) $ fini? Qu'en est-il d'une infinie ensemble de machines de Turing qui satisfont à cela? " $ ^ {q \ espace (3)} $

et notre question finale (et demi-ouverte) sera:

$ q (4): $ "Quoi d'autre pouvons-nous comprendre à propos de Turing Machines et leurs ensembles problématiques?"

Answer 1

Alors, commençons à résoudre ces problèmes. À titre de note latérale, j'ai organisé les questions telles que chaque question utilise la réponse de celle qui l'avant (et de cette façon, ils semblent presque trop triviaux pour commencer avec $: $ p).

A (1): $ est assez trivial de la définition. Si $ l $ est indéchérable, il n'y a pas de machine de Turing qui le calcule et s'arrête toujours, ainsi toutes les machines de Turing qui calculent $ L $ avoir $ p (m) \ ne \ videtyset $ . L'autre direction est aussi aussi simple que celle-ci.

$ a (2): $ supposons $ l $ est indécitable. S'il y avait une machine tanging $ m $ qui calcule $ l $ et a une classement $ p (m) $ , puis laissez-nous construire une nouvelle machine $ \ chapeau m $ tel qu'il aura $ p (\ chapeau m)=videtyset $ comme suit (en entrée $ w $

• rejet si $ w \ in p (m) $ (ceci est possible depuis $ p (m) $ < / span> est fini)
• Sinon, retournez $ m (w) $

Cette nouvelle machine, arrête de chaque $ w \ in p (m) $ , mais depuis pour chaque $ w \ notin p (m) $ il exécutera $ m $ , et il est garanti que cela s'arrêterait (depuis autrement, il aurait été dans $ p (m) $ ), nous avons que la nouvelle $ \ chapeau m $ s'arrête toujours, et Accepte $ L $ - contredise ainsi l'hypothèse. L'autre direction est simplement dérivée de $ a (1) $ .

$ a (3) $ : pour fini ensembles de machines de Turing, $ m_1 , ... M_n $ Nous montrerons que son impossible d'avoir fini $ \ bigcap_ {k \ espace=espace0} ^ np (m_k) $ mais indéciable $ l $ . Passons à la contradiction que cela ne tient pas. Juste à $ a (2) $ , nous construirons $ \ chapeau m $ - mais maintenant c'est assez Pour le construire de telle que $ P (\ HAT M)=BIGCAP_ {K \ SPACE=SPACE0} ^ np (m_k): $

• Run $ M_1 (W), M_2 (W), ..., M_N (W) $ en parallèle
• Acceptez si l'un d'entre eux a accepté.

Maintenant, il est évident pourquoi $ \ chapeau m $ accepte $ l $ . Laissez $ w \ notin p (\ chapeau m) $ , il y a quelque chose $ 1 \ le k \ le n $ < / span> tel que $ m_k (w) $ arrêté, donc $ w \ notin \ bigcap_ {k \ espace=\ espace0} ^ np (m_k) $ . Laissez $ w \ in p (\ hat m) $ , alors il n'a pas arrêté d'une $ m_k $ , donc $ w \ in p (m_k) $ pour tous $ k $ . Conclure que $ p (\ chapeau m)=bigcap_ {k \ espace=espace0} ^ np (m_k) $ est fini et donc de $ A (2) $ ne peut pas exister.

Concernant Ensembles infini de machines de Turing, c'est certainement possible. Définissez simplement pour chaque $ w \ in \ sigma ^ * $ la machine $ m_w $ qui accepte $ l $ mais s'arrête également sur $ w $ (de la même manière à la construction de $ A (2) $ ). alors $ w \ notin p (m_w) $ donc $ w \ notin \ bigcap _ {\ chapeau w} p (m_ \ chapeau w) $ et donc non seulement que $ \ bigcap _ {\ chapeau w} p (m_ \ chapeau w) $ est fini, c'est aussi vide.

$ A (4): $ let $ l $ est indécitable et $ m_1, m_2 ... $ Les machines de Turing sont acceptées $ l $ et leur intersection du" jeu problématique "est fini . Si nous regardons la fonction $ f: \ mathbb {n} \ researrow \ sigma ^ * $ défini par $ f ( k)=lelopper m_k \ rangs $ , alors il est pas calculable. Cela suit de $ A (2) $ car si cette fonction était calculable, nous aurions pu créer une machine de Turing $ \ chapeau m $ avec

Ontainer "> $ p (\ chapeau m)=bigcap_k p (m_k) $

Une autre idée que j'ai commencé à penser est ce qui se passe lorsque nous parlons de deux langages ou plus, au lieu d'une à la fois. Laissez $ m_1 $ être une machine pour $ l_1 $ et $ M_2 $ pour $ l_2 $ . Ensuite, nous pouvons définir une machine $ m $ pour $ l_1 \ bigcap l_2 $ ou $ l_1 \ bigcup l_2 $ avec:

$ p (m)= p (m_1) \ bigcup p (m_2) $ (note que cela peut également prouver les propriétés de fermeture dans $ \ mathcal r $ )

ou si $ l_1 \ delta l_2 $ est fini, alors nous les ensembles problématiques des machines pour les langues sont à peu près les mêmes (pour chaque machine $ m $ dans l'un d'eux que nous pouvons trouver des machines $ m'_1, m'_2 $ pour les deux autres Languies avec le même ensemble problématique)

Bien que je n'ai pas encore écrit une preuve formelle de ce qui précède. (Honnêtement, je n'ai pas d'énergie pour écrire plus de preuves comme celle-ci dans ce gros poteau) Je vous encourage toujours à essayer de prouver que à la maison!

Enfin! Je pense (mais toujours incertain), nous pouvons obtenir des résultats similaires (mais avec plus de contraintes) pour l'analyse de la complexité du temps si nous définissons $ p (m, t) $ pour constructible $ t (n) \ ge journal (n) $ comme groupe de mots $ m $ 'T Halt sur dans T $ (N) $ Étapes. Dans cette définition, il y a le problème délicat des constantes, de sorte que c'est plus difficile de montrer des théorèmes en définissant de nouvelles machines (car ils pourraient faire un peu plus de travail plus constant qui fera un mot dans le jeu problématique et une notation Big-O ici est quelque peu de sens pour différentes constantes)

Si vous pensez que quelque chose est incorrect ou que vous souhaitez simplement ajouter plus - je serai heureux de modifier.