튜닝 머신을위한 "문제가없는"비 멈춤 여지 입력

Question

튜링 머신을 정의 하여이 질문을 시작하겠습니다. 은 멈추지 않습니다. 정의 : $ p (m)= {w \ in \ sigma ^ * | m $ 은 $ w \} $

$ halt $ 문제는 $ Re \ setminus r $ - 따라서 모든 tm $ M $ $ halt $ 은 $ p (m) \nne \ eqwityset $ .

이후 (단순) 질문이 발생합니다 :

$ q (1) : $ "은 비어 있지 않은 '문제가없는'문제가없는 $ P (m) $ ? " $ ^ {q \ space (1)} $

$ halt $ 문제에 대해서는 $ m $ 계산, 무한히 많은 입력이 절대로 멈추지 않을 것입니다 (나는 이것이 왜 그렇게 생각하는지 생각하도록 권장)

그래서, 유사하게 우리는 첫 번째 질문의 (약간) 더 힘든 버전을 자신에게 묻고 싶을 것입니다.

$ Q (2) : $ "은 모든 TM $ m $ $ | p (m) |=aleph_0 $ 을 계산합니다. " $ ^ {Q \ SPACE (2)} $

더욱 강력한 질문을하자

$ q (3) : $ " $ l $ 이 아닌 경우, 우리는 여전히 $ m_1, ..., m_n $ m_1, ..., m_n $ math-container "의 $ l $ 및 $ \ bigcap_ {k \ space=space0} ^ np (m_k) $ 유한? 무한 그것을 만족시키는 튜링 기계 세트? " $ ^ {Q \ SPACE (3)} $

및 최종 (및 반 개방) 질문은 다음과 같습니다 :

$ q (4) : $ "우리는 기계를 튜닝하는 기계와 문제가있는 세트에 대해 무엇을 이해할 수 있습니까?"

Answer 1

그래서 그 문제를 해결하기 시작합시다. 측면 노트로, 나는 각 질문이 그것이 전에 하나의 답을 사용하기 전에 (그리고이 방식으로, 그들은 P).

$ a (1) : $ 은 정의에서 꽤 사소합니다. $ l $ 이 삭제되지 않으면 $를 계산하는 모든 튜링 머신을 계산하는 튜링 머신이 없습니다. L $ 은 $ p (m) \ ne \ equituset $ 을 가지고 있습니다. 다른 방향은 이것만큼 간단합니다.

$ a (2) : $ a (2) : $ $ l $ 은 undecidable입니다. $ l $ 을 계산하고 유한 $ m $ 을 찍는 경우 "수학 용기"> $ P (m) $ 을 사용하면 $ \ hat m $ 을 빌드하도록 $ p (\ hat m)=equeyset $ (입력 $ w $ ) :

p (m) $ ( $ p (m) $ < / span>은 유한입니다)

그렇지 않으면 $ m (W) $

를 반환합니다.

이 새 컴퓨터는 P (m) $ 에 $ w \ $ \ $ w \ notin p (m) $ $ m $ 을 실행하면 그것이 정지 할 것이라는 보장됩니다 (그렇지 않으면 $ P (m) $ ), 우리는 새로운 $ \ hat m $ 을 항상 중지하고 $ l $ - 따라서 가정을 모순합니다. 다른 방향은 $ a (1) $ 에서 단순히 파생됩니다.

$ a (3) $ : 유한 튜핑 머신 세트, $ m_1 ... m_n $ 우리는 유한 $ \ bigcap_ {k \ space=space0} ^ np (m_k) $ 을 갖는 것이 불가능하다는 것을 보여줄 것입니다. 그러나 undecidable $ l $ . 모순으로 가정 할 수 있습니다. $ a (2) $ , 우리는 $ \ hat m $ 을 빌드 할 것입니다. $ P (\ HAT M)=BIGCAP_ {k \ SPACE=SPACE0} ^ NP (M_K) : $

• $ m_1 (w), m_2 (w), ..., m_n (w) $ 병렬
• 는 그들 중 하나가 받아 들인다면 받아들입니다.

이제 $ \ hat m $ 이 $ l $ 을 허용하는 이유는 분명합니다. $ W \ NOTIN P (\ HAT M) $ , 일부 $ 1 \ le k \ le n $ < / span> $ m_k (w) $ $ w \ notin \ bigcap_ {k \ space=space0} ^ np (m_k) $ . p (\ hat m) $ 에서 $ w \를 \ 다음 $ k $ 에 대해 p (m_k) $ 에 $ w \. $ p (\ hat m)=bigcap_ {k \ space=space0} ^ np (m_k) $ 은 유한하므로 $ a (2) $ 이 존재할 수 없습니다.

무한 튜링 기계 세트에 관한

, 이것은 확실히 가능합니다. 각 $ w \ \ sigma ^ * $ \ in \ sigma ^ * $ $ m_w $ 을 허용하는 $ m_w $ class="수학 컨테이너"> $ l $ 뿐만 아니라 $ W $ ( $ a (2) $ ). 그런 다음 $ w \nnotin p (m_w) $ 따라서 $ w \ notin \ bigcap _ {\ hat w} p (m_ \ 모자 w) $ 과 $ \ bigcap _ {\ hat w} p (m_ \ hat w) $ 은 또한 비어 있습니다.

$ a (4) : $ $ l $ 은 삭제되지 않고 $ m_1, m_2 ... $ 은 $ l $ 을 수락하는 기계를 튜링하고"문제가있는 세트 "의 교차로가 유한합니다. ...에 $ f : \ mathbb {n} \ Nowarrow \ Sigma ^ * $ F ()> $ f ( k)=langle m_k \ rangle $ , 계산 가능. $ a (2) $ 이후, 우리는 튜핑 머신

Ontainer "> $ P (\ hat m)=bigcap_k p (m_k) $

다른 아이디어는 한 번에 하나의 대신 2 언어를 2 언어로 이야기 할 때 일어나는 일입니다. $ m_1 $ $ l_1 $ 및 $ l_2 $ . 그런 다음 $ m $ > $ m $ \ bigcap l_2 $ l_1 \ span> 또는 $ l_1 \ bigcup l_2 $ :

$ P (m_1) \ BIGCUP P (m_2) $ ( $ \ mathcal r $ )

또는 $ L_1 \ 델타 L_2 $ 은 유한 상태이며, 언어의 문제가있는 기계 세트는 꽤 똑같습니다 (모든 기계 <스팬 클래스에 대해="수학 용기"> $ m $ 우리는 $ m'_1, m'_2 $ 을 다른 두 사람을 위해 찾을 수 있습니다. 동일한 문제가있는 언어로 설정)

나는 아직 위의 공식적인 증거를 쓰지 않았지만. (솔직히, 나는이 하나의 큰 포스트에서 그런 증거를 더 많이 쓰는 데 에너지가 없어) 나는 당신이 집에서 그 사실을 증명하려고 노력하도록 권장합니다!

마침내! 우리가 $ p (m, t) $ 을 정의하는 경우 시간 복잡성 분석을 위해 유사한 결과를 얻을 수 있다고 생각합니다 (그러나 더 많은 제약 사항이 있습니다). $ t (n) \ ge log (n) $ $ m $ $ T (n) $ 단계에서 정지합니다. 이 정의에서는 상수의 까다로운 문제가 있으므로 새로운 기계를 정의함으로써 정리를 보여주기가 더 어렵습니다 (일부 단어가 문제가되는 세트를 입력 할 수있는 조금 더 일정한 작업을 수행 할 수 있으며 여기에 BIG-O 표기법이 있습니다. 상당한 상수에 대해 다소 의미가 없음)

뭔가가 잘못되었거나 더 많은 것을 추가하고 싶다면 - 나는 변경을 기쁘게 생각합니다.