「問題」マシンの停止のための非停止入力

Question

チューリングマシンを定義することで、が停止していない単語のセットを定義することで、この質問を始めましょう。 定義： $ p（m）={w \ in \ sigma ^ * | m $ は $を停止しません$

$ halt $ 問題は $ re \ setminus r $ - したがってすべてのTMです。 $ m $ $ halt $ には、停止しない単語、つまり $ P（M）\ NE \ EAPTYSET $ 。

これから、（シンプル）質問が発生しました：

$ q（1）：$ "は、空でない「問題」set $ p（m）$ ？ " $ ^ {q \ space（1）} $

さらに、 $ halt $ 問題については、 $ m $ を指定していることを知っています。それを計算すると、無限に多くの入力があります（私はこれがそうである理由を、投稿に進む前に）

を停止することを奨励することを勧めます。

だから、同様に私たちは最初の質問の（少し）難しい版を自分自身に尋ねたいと思うかもしれません。

$ Q（2）：$ "は、TM $ m $ ごとに、必要な不可能なIFFの問題です。 $ | p（m）|=aleph_0 $ ？ " $ ^ {q \ space（2）} $

さらに - さらに強力な質問をしましょう：

$ Q（3）：$ " $ l $ が未定である場合は、 有限チューリングマシンのセットを見つけることができる $ m_1、...、m_n $ > $ L $ を持ち、 $ \ bigcap_ {ks space=space0} ^ np（m_k）$ 有限？無限大それを満たすチューリングマシンのセット？」 $ ^ {q \ space（3）} $

と最後の質問は次のとおりです。

$ Q（4）：$ "Turing Machinesとその問題のあるセットについて理解できますか？"

Answer 1

だから、それらの問題に取り組んでみましょう。サイドノートとして、各質問がそれ以前のものの答えを使用するように質問をしました（そしてこのように、彼らはほとんど些細なように見えるようにして $：$ P）

$ a（1）：$ は定義からきれいな些細なことです。 $ l $ の場合は、それを計算して常に停止するチューリングマシンはなく、 $を計算するすべてのチューリングマシンはありません。 l $ には、 $ p（m）\ ne \ emptyset $ があります。 他の方向もこのものと同じくらい簡単です。

$ a（2）：$ $ l $ は未定であるとしています。チューリングマシン $ m $ があった場合は、 $ l $ を計算し、有限 $ P（M）$ を使用すると、新しいマシン $ \ hat m $ を構築してください。 class="math-container"> $ p（\ hat m）=emptyset $ 以下のように（ $ w $ ）：

• $ w \ in p（m）$ の場合拒否されます（ $ p（m）$ < /スパン>有限）
• それ以外の場合は、 $ m（w）$

この新しいマシンは、 $ w \ in p（m）$ ごとに停止しますが、 $ w \ notin p（m）$ は $ m $ を実行します。それはそれが停止することが保証されます（それ以外の場合はそれが参加していたので）。 $ p（m）$ ）、新しい $ \ hat m $ が常に停止しています。 $ l $ を受け入れます - それによって仮定は矛盾します。他の方向は $ a（1）$ から派生したものです。

$ a（3）$ ：有限チューリングマシンのセット、 $ m_1 、... m_n $ 有限 $ \ bigcap_ {k \ space=space0} ^ np（m_k）$ を持つことは不可能です。しかし、未秒の $ l $ 。矛盾に向けて想定することはこれが成り立たない。 $ a（2）$ で、 $ \ hat m $ を構築します - しかし今十分なもの $ p（\ hat m）=bigcap_ {k space=space0} ^ np（m_k）：$

• $ m_1（w）、m_2（w）、...、m_n（w）$ をallerm
• そのうちのどれが受け入れられたかどうかを受け入れます。

今、 $ \ hat m $ の $ l $ を受け入れるのは明らかです。 $ w \ notin p（\ hat m）$ にlet $ 1 \ le k \ le n $ < / span> $ m_k（w）$ 停止、したがって $ w \ notin \ bigcap_ {k \ space=space0} ^ np（m_k）$ 。 $ w \ in p（\ hat m）$ を除いて、 $ m_k $ 、したがって、 $ w \ in p（m_k）$ すべての $ k $ 。 $ p（\ hat m）=bigcap_ {k \ space=space0} ^ np（m_k）$ は有限よく、したがって $ a（2）$ が存在できません。

Infinite のチューリングマシンのセットについては、これは間違いなく可能です。 $ m_w $ を受け入れる $ m_w $ ごとに定義するだけです。 class="math-container"> $ l $ でも、 $ w $ のhalts（ $ a（2）$ ）。その後、 $ w \ notin p（m_w）$ したがって $ w \ notin \ bigcap _ {\ hat w} p（m_ \ hat w）$ 、したがって、 $ \ bigcap _ {\ hat w} p（m_ \ hat w）$ は有限である。

$ a（4）：$ let $ M_1、M_2 ... $ は $ l $ を受け入れるチューリングマシンで、"問題のセット "の交差点は有限です。関数 $ f：\ mathbb {n} \ rightarrow \ sigma ^ * $ を見ると、 $ f（ k）=langle m_k \ rangle $ 、それはではありません計算可能です。この関数が計算可能であれば、チューリングマシンを作成することができましたので、 $ a（2）$ から次のとおりです。を作成できました。

Ontainer "> $ p（\ hat m）=bigcap_k p（m_k）$

もう一つの考えには、一度に1つの代わりに、 2つの言語を話すときに何が起こるのかということです。 $ m_1 $ を $ L_1 $ 、のマシンにする $ L_2 $ の$ m_2 $ 。次に、 $ m $ を定義できます。 $ l_1 \ bigcap l_2 $ または $ L_1 \ BIGCUP L_2 $ ：

$ p（m）= p（m_1）\ bigcup p（m_2）$ （これは $ \ mathcal r $ ）

または $ l_1 \ delta l_2 $ が有限で、言語の問題のあるマシンのセットはほとんど同じです（すべてのマシン $ m $ 他の2つのマシン $ m'_1、m'_2 $ を見つけることができます同じ問題セットを持つ言語）

私はまだ上記の正式な証明書を書いていません。 （正直なところ、この1つの大きな投稿でそのような証明をもっと証明するためのエネルギーはありません）私はまだ自宅でそれを証明することを試みることをお勧めします！

最後に！ $ p（m、t）$ を定義する場合は、（ただしわかりません）、時間の複雑さ分析のために同様の結果を得ることができます（ただし、より多くの制約があります）。構築可能 $ t（n）\ ge log（n）$ 単語のグループとして $ m $ はしません $ t（n）$ の範囲内で 'th halt。この定義では、定数のトリッキーな問題がありますので、新しいマシンを定義することで定理を表示するのが難しくあります（それらは、いくつかの単語をいくつかの単語に入る可能性があるようにする可能性があるように、ここでのビッグョ表記は単語を少しずつします。異なる定数にとってやや意味がありません）

何かが間違っていると思う場合、または多数追加したい場合は、変更を加えて嬉しいです。