Pourquoi les preuves mathématiques sont-elles si difficiles?

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29-09-2020
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Question

Je suis un ingénieur électrique et j'essaie de faire une transition dans l'apprentissage de la machine.Je lis dans plusieurs articles que je dois apprendre des structures de données et des algorithmes, avant cela, je dois en savoir plus sur les preuves mathématiques.J'ai commencé à étudier seul l'utilisation du matériel disponible sur l'OCW de MIT, tandis que je saisis les concepts d'induction et de commande bien, etc.

Je me débats avec les exercices depuis très longtemps et c'est vraiment frustrant.Je peux facilement traiter avec tout type de preuves que j'ai vu auparavant (par exemple, une fois que j'ai vu la preuve d'une question de récurrence, je suis devenu plutôt bon à les prouver).Mes problèmes commencent quand je suis confronté à une question inhabituelle.J'ai l'impression de mémoriser les preuves plutôt que d'apprendre à prouver.

Y a-t-il une manière (ou toute ressource) qui peut améliorer mes compétences de preuve de manière à ce que chaque fois que je vois une question inhabituelle (comme les carreaux de dames et des carreaux de carreaux d'échecs), je n'ai pas à les regarder pour2 heures avant d'abandonner?

La solution

Je me sens comme si je mémorise les preuves plutôt que d'apprendre à prouver

vous ne peut pas apprendre "Comment prouver". "Prouver" n'est pas un processus mécanique, mais plutôt créatif où vous devez inventer une nouvelle technique pour résoudre un problème donné. Un mathématicien professionnel pourrait passer toute leur vie à tenter de prouver une déclaration donnée et de ne jamais réussir.

Je peux facilement traiter avec tout type de preuves que j'ai vu auparavant (par exemple, une fois que j'ai vu la preuve d'une question de récurrence, je suis devenu très bien à leur fournir). Mes problèmes commencent quand je suis confronté à une question inhabituelle.

c'est normal. Tout cours de "épreuves de mathématiques" n'est pas conçue pour vous apprendre à prendre un problème arbitraire que vous n'avez jamais vu auparavant et que personne ne le résolvez pas (car personne, pas même les meilleurs professeurs de mathématiques ne peuvent le faire). Au contraire, vos objectifs d'apprentissage sont

Apprenez à "lire" les preuves et à juger leur exactitude

Apprenez à "écrire" sur une preuve dans la langue mathématique droite

En savoir plus sur la preuve connue "Techniques" et comment les appliquer

Si vous travaillez sur un nouveau problème inconnu, il est normal que vous ne puissiez pas la résoudre. Cependant, connaissant et avoir mémorisé d'autres techniques de preuve peut vous aider. Les preuves impliquent souvent la combinaison d'une nouvelle idée avec des techniques de preuve connues existantes. De plus, et plus les preuves que vous connaissez déjà sont déjà variables, meilleures sont votre chance de pouvoir résoudre le problème donné.

Vous êtes sur la bonne voie. Vous devriez simplement continuer à étudier les techniques d'épreuve. Les exercices que vous faites sont bons. Ne vous inquiétez pas si vous êtes coincé. Lorsque vous obtenez plus expérimenté et que votre «boîte à outils» de techniques grandit, vous pourrez résoudre des exercices moins «similaires» les précédents que vous avez vus.

Autres conseils

Alors que d'autres auteurs ont mentionné, en partie parce que les preuves sont intrinsèquement difficiles, mais également en partie à cause du fait froid que Les preuves ne sont pas écrites dans le but d'enseigner , mêmedans la plupart des manuels.La plupart des preuves sont plutôt écrites d'une sorte d'obligation, comme une sorte d'argument de ruissellement;Ne présentant pas du tout des preuves est considéré comme inacceptable, mais les écrit dans des détails épuisants brûlerait l'auteur ainsi que mettre en danger le lecteur se perdre dans les bois.Par conséquent, la plupart des preuves sont souillonnées exprès, laissant beaucoup de points uniquement pour le lecteur de se connecter.Alors que certaines personnes trouvent cela un exercice utile, de nombreux lecteurs comme vous et moi trouvent que cela rend la mathématique inutilement difficile.C'est également pourquoi la pédagogie de la classe dans un établissement universitaire est indispensable à l'apprentissage mathématique professionnel, car les outils de dialogue peuvent remplir la vue imprimée des épreuves de manuels.

Je peux certainement recommander le livre de G. Polya's, comment le résoudre . C'est un classique standard, à ne pas manquer. Il y a un livre plus récent comment lire et faire des preuves: une introduction aux processus de pensée mathématiques par Daniel Solow qui peut être plus accessible.

Dans tous les événements, les épreuves sont entièrement non naturelles pour les humains. C'est une discipline qui nécessite une pensée minutieuse que nous n'utilisons pas normalement. Nous sommes habitués à faire de nombreuses hypothèses pour traverser nos jours et nos vies. Si nous devions justifier le premier d'entre eux, nous ne pouvions pas sortir du lit. Une preuve mathématique éloigne les hypothèses et ne vit que ce que vous pouvez montrer clairement et sans ambiguïté.

J'ai eu le problème similaire avec des problèmes sur les identités trigonométriques. Essayer de passer du début à la finition est facile quand il y a une méthode apprise connue. Les identités peuvent nécessiter plusieurs étapes dans des directions inconnues sans beaucoup de sens de la direction. Les preuves sont un peu plus faciles que les méthodes logiques sont assez limitées et connues (si vous lisez les livres). Garder dessus.

J'aime la réponse de Tom: il n'y a pas de balle magique, mais il vous suffit de continuer à faire des exercices et de développer progressivement une meilleure intuition et savoir comment attaquer un problème.

Quant aux ressources, vous pourriez aimer G. Polya's Look's Comment résoudre le problème.On dirait que L'article Wikipedia donne un aperçu agréable et un peu détaillé.Fondamentalement, le livre vous proposera une stratégie ou des méthodes de traitement des déclarations mathématiques et de leurs preuves.

Pourquoi les preuves mathématiques sont-elles si difficiles? ... Je dois apprendre des structures de données et des algorithmes,

Je suppose que vous voudrez également en savoir plus sur la complexité de l'espace et du temps d'algorithmes, comme quantifié dans la notation Big O. La complexité du temps, en particulier, indice pourquoi les preuves sont difficiles. Si je vous ai promis, il y a une preuve d'au plus longueur $ n $ d'une déclaration donnée, comment le trouverais-tu? En théorie, vous pouvez passer à travers toutes les preuves de longueur $ \ le n $ jusqu'à ce que vous en trouviez un, qui prendrait une heure exponentielle, disons $ O (ne ^ {cn}) $ (j'ai inclus un facteur de $ n $ pour le temps de lecture). C'est beaucoup trop inefficace à nos fins, sauf si $ n $ est très petit. Il pourrait y avoir un bien meilleur algorithme, mais personne n'a trouvé un général de manière particulièrement efficace. C'est pourquoi la preuve des choses reste un exercice "créatif", par lequel nous voulons dire "nous ne savons pas dans Pseudocode Termes comment une telle pensée fonctionne".

Y a-t-il une manière (ou toute ressource) qui peut améliorer mes compétences de preuve de manière à ce que chaque fois que je vois une question inhabituelle (comme les carreaux de dames et des carreaux de carreaux d'échecs), je n'ai pas à les regarder pour 2 heures avant d'abandonner?

Vous appelez de telles questions inhabituelles, mais vous savez quels exemples à donner. C'est le creux de la question là-bas. Ce n'est que "inhabituel" de votre expérience si vous ne l'avez pas vu (beaucoup). Comme d'autres réponses, continuez à apprendre plus d'outils. Espérons que vous devriez alors être capable de dire qui aide à un problème. À en juger par votre choix d'exemples, l'utilisation des invariants dans les preuves est quelque chose que vous pourriez travailler. Je ne sais pas à quel point votre grande / petite notation est bon, mais je vais mentionner ce sujet à nouveau parce qu'il est souvent utile de prouver des résultats, tels que des inégalités ou tout ce qui leur dépendent, par exemple. limites (au moins si vous êtes censé donner une $ \ varpsilon $ - $ \ delta $ preuve ).

Certaines preuves doivent être lourdes, d'autres sont fastidieuses, même quand elles pourraient être plus faciles, mais l'auteur n'a pas créé un moyen plus élégant de l'écrire.Grâce à une simple preuve, il est encore plus difficile que de comprendre une preuve, de même que de nombreuses preuves sont plus compliquées qu'elles ne devraient l'être.

Il n'y a pas de conseils généraux comment comprendre des preuves (élégantes ou non).Une technique que vous pouvez essayer est de réfuter la déclaration.Pourquoi la preuve fonctionne-t-elle?Que se passerait-il lorsque vous laissez l'une des conditions préalables à la preuve?

Si vous êtes déjà très pratique avec la programmation, vous pourriez aimer apprendre à utiliser un Assistant interactif < / a> comme Coq ou maigre. Un assistant d'épreuve est un langage de programmation avec un système de type très riche dans lequel il est possible d'exprimer une logique constructive. Ces types de langues opèrent en grande partie à la notion selon laquelle il y a une analogie directe entre les programmes et leurs types sur le côté de la programmation et entre les propositions et les preuves du côté des mathématiques. (Ceci s'appelle le Isomorphisme Curry-Howard .)

Un projet vraiment intéressant sur ces lignes est le Jeu de numéro naturel . Le jeu fait partie d'un programme plus vaste de plusieurs professeurs à Imperial College of London pour formaliser toutes les mathématiques de premier cycle à l'aide de l'assistant de preuve Lean . Au début de la partie, vous avez reçu uniquement les axiomes d'arithmétiques des arithmétiques: 0 est un nombre naturel, le successeur d'un nombre naturel est un nombre naturel et le successeur de tout nombre naturel n'est pas égal à lui-même. Vous êtes autorisé à utiliser les règles habituelles de la logique de prédicat et de l'induction. L'objet du jeu est de trouver des preuves formelles rigoureuses des propriétés de l'addition, de la multiplication et de la théorie des numéros de base.

Les assistants prêtés gagnissent efficacement faire des mathématiques pures - ils se souviennent des règles pour vous et ils vous donnent des commentaires pratiquement en temps réel. Si vous recherchez un moyen d'améliorer vos compétences pour faire des preuves grâce à l'auto-étude, je pense que les assistants prouvés sont d'excellents outils. En plus de cela, ils sont également utilisés dans la vérification formelle des programmes informatiques, qui est une spécialisation intéressante et employable à part entière.

Je suis un ingénieur électrique ainsi qu'un mathématicien en formation. Après avoir terminé mon premier cycle dans EE, je suis passé en mathématiques et j'ai finalement obtenu un doctorat durement gagné. Je ne dirai pas que je suis un enfant particulièrement brillant. Cependant, j'ai toujours trouvé des mathématiques facilement et par conséquent ennuyeux. Cependant, grâce à mon père, même à un âge très précoce (environ huit ou neuf), je savais qu'il y aura beaucoup plus aux mathématiques que de mon école. Alors je l'ai enduré.

J'ai également dérivé mon estime de soi d'être bon en maths (oui, des épaves comme moi existent). Je fais probablement toujours.

Depuis que je faisais progressivement moins de mathématiques, au moment où j'ai terminé mon lycée, j'étais un peu effrayé. Ma situation serait très telle que la vôtre de ma première ou deuxième année de premier cycle, qui était très mauvaise pour mon estime de soi. Ensuite, j'ai commencé ma rééducation en mathématiques - principalement en auto-étudiant et à la manière des cours d'audit, que j'ai assisté aux dépens de mon programme d'études EE ordinaire. Ee, de toute façon, était une promenade de gâteau pour moi. Mais les mathématiques ont prouvé une très dure écrou à craquer.

J'ai poursuivi mes études de mathématiques après le collège, inscrit dans le programme de mathématiques et après une longue et frustrante, j'ai terminé mon doctorat.

Je ne sais pas quelle zone de maths que vous regardez. Mais je ne suggérerai pas de ressources en ligne ni de conférences invitées pour entrer en mathématiques. Ces choses ne vous donnent qu'une illusion de compréhension. Vous allez avoir chercher un livre. Vous allez avoir chercher un stylo. Et vous allez avoir pour commencer à écrire. Et vous aussi, vous apprendrez la solution difficile, seulement la solution difficile. Si vous avez quelqu'un pour discuter de choses avec, génial! Sinon travaillez dans l'obscurité.

Pour commencer, parlez à quelqu'un pour obtenir les premiers couple de livres qui vous conviennent. Reposez-vous que vous pouvez comprendre vous-même.

Je ne peux pas croire que personne d'autre ne mentionne cela, mais vous vous excrétiez probablement si vous souhaitez apprendre l'apprentissage de la machine appliquée.Vous feriez mieux de se brosser sur l'algèbre linéaire et la science informatique de base.Il existe de superbes spécialisations sur Coursera - spécifiquement l'apprentissage des machines et les mathématiques pour les pistes d'apprentissage de la machine (il est dit qu'il y a un coût, mais vous pouvez vérifier chacun des cours individuellement gratuitement - il y en a environ 8 totales entre les deux spécialisations);L'apprentissage en profondeur d'Andrew NG (5 cours) est également fantastique.Ensuite, inscrivez-vous à Kaggle et appliquez ce que vous apprenez.Je comprends personnellement vouloir savoir comment dériver des preuves mathématiques avec une rigueur, mais personne ne vous paie de le faire en production.Vous ferez mieux d'étudier l'apprentissage de la machine.

J'ai du mal avec les exercices depuis très longtemps et c'est vraiment frustrant. Je peux facilement traiter avec n'importe quel type de preuves que je vu auparavant (par exemple une fois j'ai vu la preuve d'une question de récurrence que je est devenu assez bon à les éprouver). Mes problèmes commencent quand je fais face à un question inhabituelle. J'ai l'impression de mémoriser les preuves plutôt que de Apprenez à prouver.

Donc, vous savez comment lire des preuves, mais que vous trouvez ceux-ci pour être difficile. Je pense qu'il y a probablement quelques choses qui sont pertinentes.

On est que les différences entre la capacité requise par différents manuels mathématiques sont exponentielles et non linéaires. J'ai vu des livres intitulé "Introduction à X" qui sont beaucoup plus difficiles que les livres intitulé "Advanced Y". Les auteurs ont à l'esprit différents publics et les niveaux de difficulté sont en conséquence différents.

Deuxièmement, il se peut que une fois que vous aurez plus familier avec des concepts et des preuves dans une zone donnée, ils deviendront plus faciles. Comme certaines des autres réponses indiquent, les preuves laissent souvent sortir des mesures que l'auteur pense être évident pour leur public cible. Aucun de nous ne pourrait s'attendre à ce qu'une preuve souligne que deux plus deux équivaut à quatre. Certaines choses qu'un lecteur trouve complètement mystérieux sont comme 2 + 2 $= 4 $ pour d'autres lecteurs. Cela ne signifie pas que le livre ou l'article n'est pas pour vous, cependant. Si vous pouvez travailler à travers les étapes manquantes, vous obtiendrez une compréhension plus profonde du sujet et, après avoir fait cela à quelques reprises, ce qui était difficile deviendra plus facile. (Une preuve dans un livre qui est un peu trop difficile, c'est comme un exercice.)

Troisièmement, je comprends que si vous ne voulez pas regarder une preuve pendant deux heures, mais je pense que pendant cette période, vous pouvez apprendre beaucoup. Ce que vous faites pendant ce temps, on pense à différentes interprétations des concepts et des étapes et des moyens possibles de passer d'une étape à une autre et de penser à quelles hypothèses l'auteur avait à l'esprit. C'est un processus d'apprentissage, et je pense que cela aide à comprendre les autres choses plus facilement, plus tard.

Je fais beaucoup d'auto-étude chez des sujets qui ne me sont pas familiers. Parfois, j'utilise deux ou trois livres pour un sujet, car ce qui est laissé dans un seul livre sera expliqué plus clairement dans l'autre. Parfois, je trouve que je dois aller lire des livres sur d'autres sujets, car l'auteur a supposé que leurs lecteurs auraient tous un certain fond - et je ne l'ai pas. Cela ne signifie pas nécessairement que j'ai lu tout le livre sur l'autre sujet. Parfois, je viens de lire assez pour que je puisse comprendre le livre que je veux vraiment comprendre. Ce n'est pas une mauvaise pratique. Je finis par apprendre des choses que je n'étais pas intéressées par l'apprentissage, mais cela se révéler utile plus tard.

(Peut-être que tout cela semble évident, mais j'espère que certains commentaires ici sont utiles à quelqu'un.)

On dirait que votre problème est que vous manquez d'expérience avec un raisonnement logique en général. Le fait que vous puissiez prouver facilement des théorèmes similaires en adaptant une preuve que vous avez vue auparavant, montre que vous n'avez pas de problème avec la compréhension des preuves. Mais je soupçonne que vous n'avez jamais appris la logique de premier ordre approprié, qui est un ingrédient nécessaire dans un raisonnement mathématique réel. Une fois que vous avez appris un système déductif pour FOL (pour lequel je recommande Fitch-style), il devient facile de traiter des zones arbitraires de mathématiques, même si elles sont complètement nouvelles. Cependant, il existe un coût initial, qui est à peu près la moitié des efforts que vous devez mettre en place pour apprendre un nouveau langage de programmation. Donc, je vous laisse décider d'essayer ou non.

Indépendant de l'apprentissage Fol, vous avez également besoin d'une source de pratique, et je vous recommande Comment le prouver par Daniel Velleman. Cela vous apprend un peu de raisonnement logique, et cela vous donne beaucoup de choses soignées et intéressantes à prouver.

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