Montrez que l'inégalité détient pour tous les entiers positifs

Question

$ a_1= 2, a_2= 9, a_n= 2a_ {n-1} + 3a_ {n-2} $ pour $ n>= 3 $

montre $ a_n <3 ^ n $ pour tous les entiers positifs n

cas de base: $ a_3= 2 * 9 + 3 * 2= 24 <= 3 ^ 3 $ est vrai

Hypothèse: $ a_k <= 3 ^ k $ pour $ k \ epsilon \ mathbb {n} $ , montrer $ a_ {k + 1} <= 3 ^ {k + 1} $

commencer:

$ a_k <= 3 ^ k $ implique $ 3A_k <= 3 ^ {k + 1} $

Par définition: $ a_ {k + 1}= 2a_k + 3a_ {k-1} $

$ 2a_k + 3a_ {k-1} <= 2a_k + a_k= 3a_k <= 3 ^ {k + 1} $

parce que $ 3a_ {k-1}= 2a_ {k-1} + a_ {k-1}= 2a_ {k-1} + 2a_ {k-2} + 3a_ {k-3} $

$ 3A_ {k-1} $ sera toujours plus petit que $ a_k $ car 2A_ {k-2} + 3a_ {k-3} $ est toujours plus petit que $ 3a_ {k-2} $ < / span>

donc parce que $ a_ {k + 1} <= 3a_k $ et $ 3A_k <= 3 ^ {k + 1} $ alors $ a_ {k + 1} <= 3 ^ {k + 1} $ ce qui prouve $ a_n <= 3 ^ n $ pour tous n

est ma preuve légitime?

Answer 1

Nous n'allons pas prouver que $ a_k \ geq 3a_ {k-1} $ car il n'est pas vrai: $$ A_3= 2A_2 + 3A_1= 2 \ CDOT 9 + 3 \ CDOT 2= 24 <3 \ CDOT 9= 3A_2 $$

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Nous n'avons pas non plus $ a_k <3 ^ k $ pour tous $ k $ , depuis $ a_2= 9= 3 ^ 2 $ . C'est probablement une faute de frappe.

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prouver, par induction, que pour tout naturel $ k $ nous avons $ a_k \ leq 3 ^ k $ .

Nous avons que $ a_1= 2 \ leq 3= 3 ^ 1 $ .

.

suppose que $ a_ {k-2} \ leq 3 ^ {k-2} $ et $ a_ { K-1} \ LEQ 3 ^ {k-1} $ . Ou vous pouvez supposer que $ a_t \ leq 3 ^ t $ pour tous $ t . < / p>

Alors $$ \ commence {align} a_k &= 2a_ {k-1} + 3a_ {k-2} \\ & \ Leq 2 \ CDOT 3 ^ {K-1} +3 \ CDOT 3 ^ {k-2} \\ &= 3 \ CDOT 3 ^ {k-1} \\ &= 3 ^ {k} \ fin {align} $$

Par conséquent, $ a_ {k} \ leq 3 ^ {k} $ .

Par induction, pour tout naturel $ K $ nous avons que $ a_ {k} \ Leq 3 ^ k $ .