Che cos'è un catamorfismo e può essere implementato in C # 3.0?
https://stackoverflow.com/questions/196294
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10-07-2019 - |
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Sto cercando di conoscere i catamorfismi e ho letto l'articolo di Wikipedia e i primi post di coppia in la serie dell'argomento per F # sul blog Inside F # .
Comprendo che si tratta di una generalizzazione delle pieghe (ovvero mappare una struttura di molti valori su un valore, incluso un elenco di valori su un altro elenco). E capisco che la fold-list e la fold-tree sono un esempio canonico.
Si può dimostrare che ciò è fatto in C #, usando l'operatore Aggregate di LINQ o qualche altro metodo di ordine superiore?
Soluzione
LINQ Aggregate() è solo per IEnumerables. I catamorfismi in generale si riferiscono al modello di piegatura per un tipo di dati arbitrario. Quindi FoldTree è Trees cosa <=> (sotto) è <=> (sotto); entrambi sono catamorfismi per i rispettivi tipi di dati.
Ho tradotto parte del codice nella parte 4 della serie in C #. Il codice è sotto. Si noti che l'equivalente F # utilizzava tre caratteri minori di (per le annotazioni di parametri di tipo generico), mentre questo codice C # ne utilizza più di 60. Questa è la prova del fatto che nessuno scrive tale codice in C #: ci sono troppe annotazioni di tipo. Presento il codice nel caso in cui aiuti le persone che conoscono C # ma non F # a giocarci. Ma il codice è così denso in C #, è molto difficile da capire.
Data la seguente definizione per un albero binario:
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Windows;
using System.Windows.Controls;
using System.Windows.Input;
using System.Windows.Media;
using System.Windows.Shapes;
class Tree<T> // use null for Leaf
{
public T Data { get; private set; }
public Tree<T> Left { get; private set; }
public Tree<T> Right { get; private set; }
public Tree(T data, Tree<T> left, Tree<T> rright)
{
this.Data = data;
this.Left = left;
this.Right = right;
}
public static Tree<T> Node<T>(T data, Tree<T> left, Tree<T> right)
{
return new Tree<T>(data, left, right);
}
}
Si possono piegare alberi e ad es. misura se due alberi hanno nodi diversi:
class Tree
{
public static Tree<int> Tree7 =
Node(4, Node(2, Node(1, null, null), Node(3, null, null)),
Node(6, Node(5, null, null), Node(7, null, null)));
public static R XFoldTree<A, R>(Func<A, R, R, Tree<A>, R> nodeF, Func<Tree<A>, R> leafV, Tree<A> tree)
{
return Loop(nodeF, leafV, tree, x => x);
}
public static R Loop<A, R>(Func<A, R, R, Tree<A>, R> nodeF, Func<Tree<A>, R> leafV, Tree<A> t, Func<R, R> cont)
{
if (t == null)
return cont(leafV(t));
else
return Loop(nodeF, leafV, t.Left, lacc =>
Loop(nodeF, leafV, t.Right, racc =>
cont(nodeF(t.Data, lacc, racc, t))));
}
public static R FoldTree<A, R>(Func<A, R, R, R> nodeF, R leafV, Tree<A> tree)
{
return XFoldTree((x, l, r, _) => nodeF(x, l, r), _ => leafV, tree);
}
public static Func<Tree<A>, Tree<A>> XNode<A>(A x, Tree<A> l, Tree<A> r)
{
return (Tree<A> t) => x.Equals(t.Data) && l == t.Left && r == t.Right ? t : Node(x, l, r);
}
// DiffTree: Tree<'a> * Tree<'a> -> Tree<'a * bool>
// return second tree with extra bool
// the bool signifies whether the Node "ReferenceEquals" the first tree
public static Tree<KeyValuePair<A, bool>> DiffTree<A>(Tree<A> tree, Tree<A> tree2)
{
return XFoldTree((A x, Func<Tree<A>, Tree<KeyValuePair<A, bool>>> l, Func<Tree<A>, Tree<KeyValuePair<A, bool>>> r, Tree<A> t) => (Tree<A> t2) =>
Node(new KeyValuePair<A, bool>(t2.Data, object.ReferenceEquals(t, t2)),
l(t2.Left), r(t2.Right)),
x => y => null, tree)(tree2);
}
}
In questo secondo esempio, un altro albero viene ricostruito in modo diverso:
class Example
{
// original version recreates entire tree, yuck
public static Tree<int> Change5to0(Tree<int> tree)
{
return Tree.FoldTree((int x, Tree<int> l, Tree<int> r) => Tree.Node(x == 5 ? 0 : x, l, r), null, tree);
}
// here it is with XFold - same as original, only with Xs
public static Tree<int> XChange5to0(Tree<int> tree)
{
return Tree.XFoldTree((int x, Tree<int> l, Tree<int> r, Tree<int> orig) =>
Tree.XNode(x == 5 ? 0 : x, l, r)(orig), _ => null, tree);
}
}
E in questo terzo esempio, piegare un albero è usato per disegnare:
class MyWPFWindow : Window
{
void Draw(Canvas canvas, Tree<KeyValuePair<int, bool>> tree)
{
// assumes canvas is normalized to 1.0 x 1.0
Tree.FoldTree((KeyValuePair<int, bool> kvp, Func<Transform, Transform> l, Func<Transform, Transform> r) => trans =>
{
// current node in top half, centered left-to-right
var tb = new TextBox();
tb.Width = 100.0;
tb.Height = 100.0;
tb.FontSize = 70.0;
// the tree is a "diff tree" where the bool represents
// "ReferenceEquals" differences, so color diffs Red
tb.Foreground = (kvp.Value ? Brushes.Black : Brushes.Red);
tb.HorizontalContentAlignment = HorizontalAlignment.Center;
tb.VerticalContentAlignment = VerticalAlignment.Center;
tb.RenderTransform = AddT(trans, TranslateT(0.25, 0.0, ScaleT(0.005, 0.005, new TransformGroup())));
tb.Text = kvp.Key.ToString();
canvas.Children.Add(tb);
// left child in bottom-left quadrant
l(AddT(trans, TranslateT(0.0, 0.5, ScaleT(0.5, 0.5, new TransformGroup()))));
// right child in bottom-right quadrant
r(AddT(trans, TranslateT(0.5, 0.5, ScaleT(0.5, 0.5, new TransformGroup()))));
return null;
}, _ => null, tree)(new TransformGroup());
}
public MyWPFWindow(Tree<KeyValuePair<int, bool>> tree)
{
var canvas = new Canvas();
canvas.Width=1.0;
canvas.Height=1.0;
canvas.Background = Brushes.Blue;
canvas.LayoutTransform=new ScaleTransform(200.0, 200.0);
Draw(canvas, tree);
this.Content = canvas;
this.Title = "MyWPFWindow";
this.SizeToContent = SizeToContent.WidthAndHeight;
}
TransformGroup AddT(Transform t, TransformGroup tg) { tg.Children.Add(t); return tg; }
TransformGroup ScaleT(double x, double y, TransformGroup tg) { tg.Children.Add(new ScaleTransform(x,y)); return tg; }
TransformGroup TranslateT(double x, double y, TransformGroup tg) { tg.Children.Add(new TranslateTransform(x,y)); return tg; }
[STAThread]
static void Main(string[] args)
{
var app = new Application();
//app.Run(new MyWPFWindow(Tree.DiffTree(Tree.Tree7,Example.Change5to0(Tree.Tree7))));
app.Run(new MyWPFWindow(Tree.DiffTree(Tree.Tree7, Example.XChange5to0(Tree.Tree7))));
}
}
Altri suggerimenti
Ho letto di più, incluso un articolo di Micorosft Research su programmazione funzionale con catamorfismi (" banane ") , e sembra che catalamorfismo si riferisca a qualsiasi funzione che prende un elenco e in genere la suddivide in un singolo valore (IEnumerable<A> => B), come Max(), Min() e, nel caso generale, Aggregate(), sarebbe tutto un catamorfismo per gli elenchi.
In precedenza avevo l'impressione che si rifacesse a un modo di creare una funzione in grado di generalizzare diverse pieghe, in modo che potesse piegare un albero e un elenco. In realtà potrebbe esserci ancora una cosa del genere, una sorta di functor o freccia forse, ma in questo momento è al di là del mio livello di comprensione.
La risposta di Brian nel primo paragrafo è corretta. Ma il suo esempio di codice non riflette davvero come si risolverebbero problemi simili in stile C #. Prendi in considerazione una semplice classe node:
class Node {
public Node Left;
public Node Right;
public int value;
public Node(int v = 0, Node left = null, Node right = null) {
value = v;
Left = left;
Right = right;
}
}
Con questo possiamo creare un albero in main:
var Tree =
new Node(4,
new Node(2,
new Node(1),
new Node(3)
),
new Node(6,
new Node(5),
new Node(7)
)
);
Definiamo una funzione di piega generica nello spazio dei nomi di Node:
public static R fold<R>(
Func<int, R, R, R> combine,
R leaf_value,
Node tree) {
if (tree == null) return leaf_value;
return
combine(
tree.value,
fold(combine, leaf_value, tree.Left),
fold(combine, leaf_value, tree.Right)
);
}
Per i catamorfismi dovremmo specificare gli stati dei dati, i nodi possono essere nulli o avere figli. I parametri generici determinano ciò che facciamo in entrambi i casi. Si noti che la strategia di iterazione (in questo caso ricorsione) è nascosta all'interno della funzione di piegatura.
Ora invece di scrivere:
public static int Sum_Tree(Node tree){
if (tree == null) return 0;
var accumulated = tree.value;
accumulated += Sum_Tree(tree.Left);
accumulated += Sum_Tree(tree.Right);
return accumulated;
}
Possiamo scrivere
public static int sum_tree_fold(Node tree) {
return Node.fold(
(x, l, r) => x + l + r,
0,
tree
);
}
Elegante, semplice, controllato con caratteri, mantenibile, ecc. Facile da usare Console.WriteLine(Node.Sum_Tree(Tree));.
È facile aggiungere nuove funzionalità:
public static List<int> In_Order_fold(Node tree) {
return Node.fold(
(x, l, r) => {
var tree_list = new List<int>();
tree_list.Add(x);
tree_list.InsertRange(0, l);
tree_list.AddRange(r);
return tree_list;
},
new List<int>(),
tree
);
}
public static int Height_fold(Node tree) {
return Node.fold(
(x, l, r) => 1 + Math.Max(l, r),
0,
tree
);
}
F # vince nella categoria conciseness per In_Order_fold ma è prevedibile quando il linguaggio fornisce operatori dedicati per la costruzione e l'utilizzo di elenchi.
La drammatica differenza tra C # e F # sembra essere dovuta all'uso delle chiusure da parte di F #, per agire come strutture di dati implicite, per innescare l'ottimizzazione della coda. L'esempio nella risposta di Brian comprende anche l'ottimizzazione dell'account in F #, per schivare la ricostruzione dell'albero. Non sono sicuro che C # supporti l'ottimizzazione delle chiamate in coda, e forse <=> potrebbe essere scritto meglio, ma nessuno di questi punti è rilevante quando si discute di quanto sia espressivo C # quando si tratta di questi catamorfismi.
Quando si traduce il codice tra le lingue, è necessario comprendere l'idea di base della tecnica e quindi implementare l'idea in termini di primitive della lingua.
Forse ora sarai in grado di convincere i tuoi colleghi C # a prendere le pieghe più sul serio.
Capisco che è un generalizzazione delle pieghe (cioè mappatura una struttura di molti valori in uno valore, incluso un elenco di valori a un altro elenco).
Non direi un valore. Lo mappa in un'altra struttura.
Forse un esempio potrebbe chiarire.let dire la sintesi su un elenco.
foldr (\ x - > \ y - > x + y) 0 [1,2,3,4,5]
Ora questo ridurrebbe a 15. Ma in realtà, può essere visualizzato mappando su una struttura puramente sintattica 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 0. È solo che il linguaggio di programmazione (nel caso sopra, haskell) sa come ridurre la struttura sintattica di cui sopra a 15.
In sostanza, un catamorfismo sostituisce un costruttore di dati con un altro. Nel caso dell'elenco precedente,
[1,2,3,4,5] = 1: 2: 3: 4: 5: [] (: è l'operatore contro, [] è l'elemento zero) il catamorfismo sopra sostituito: con + e [] con 0.
Può essere generalizzato a tutti i tipi di dati ricorsivi.
Brian ha pubblicato una serie di post nel suo blog. Anche Channel9 aveva un bel video . Non esiste zucchero sintattico LINQ per .Aggregate (), quindi importa se ha la definizione del metodo LINQ Aggregate o no? L'idea è ovviamente la stessa. Piegare gli alberi ... Per prima cosa abbiamo bisogno di un nodo ... forse potrebbe essere usata Tupla, ma questo è più chiaro:
public class Node<TData, TLeft, TRight>
{
public TLeft Left { get; private set; }
public TRight Right { get; private set; }
public TData Data { get; private set; }
public Node(TData x, TLeft l, TRight r){ Data = x; Left = l; Right = r; }
}
Quindi, in C # possiamo creare un tipo ricorsivo, anche questo è insolito:
public class Tree<T> : Node</* data: */ T, /* left: */ Tree<T>, /* right: */ Tree<T>>
{
// Normal node:
public Tree(T data, Tree<T> left, Tree<T> right): base(data, left, right){}
// No children:
public Tree(T data) : base(data, null, null) { }
}
Ora citerò un po 'del codice di Brian, con lievi modifiche allo stile LINQ:
- In C # Fold si chiama Aggregate
- I metodi LINQ sono metodi di estensione che hanno l'elemento come primo parametro con " questa " -keyword.
- Il loop può essere privato
...
public static class TreeExtensions
{
private static R Loop<A, R>(Func<A, R, R, Tree<A>, R> nodeF, Func<Tree<A>, R> leafV, Tree<A> t, Func<R, R> cont)
{
if (t == null) return cont(leafV(t));
return Loop(nodeF, leafV, t.Left, lacc =>
Loop(nodeF, leafV, t.Right, racc =>
cont(nodeF(t.Data, lacc, racc, t))));
}
public static R XAggregateTree<A, R>(this Tree<A> tree, Func<A, R, R, Tree<A>, R> nodeF, Func<Tree<A>, R> leafV)
{
return Loop(nodeF, leafV, tree, x => x);
}
public static R Aggregate<A, R>(this Tree<A> tree, Func<A, R, R, R> nodeF, R leafV)
{
return tree.XAggregateTree((x, l, r, _) => nodeF(x, l, r), _ => leafV);
}
}
Ora, l'uso è abbastanza in stile C #:
[TestMethod] // or Console Application:
static void Main(string[] args)
{
// This is our tree:
// 4
// 2 6
// 1 3 5 7
var tree7 = new Tree<int>(4, new Tree<int>(2, new Tree<int>(1), new Tree<int>(3)),
new Tree<int>(6, new Tree<int>(5), new Tree<int>(7)));
var sumTree = tree7.Aggregate((x, l, r) => x + l + r, 0);
Console.WriteLine(sumTree); // 28
Console.ReadLine();
var inOrder = tree7.Aggregate((x, l, r) =>
{
var tmp = new List<int>(l) {x};
tmp.AddRange(r);
return tmp;
}, new List<int>());
inOrder.ForEach(Console.WriteLine); // 1 2 3 4 5 6 7
Console.ReadLine();
var heightTree = tree7.Aggregate((_, l, r) => 1 + (l>r?l:r), 0);
Console.WriteLine(heightTree); // 3
Console.ReadLine();
}
Mi piace ancora F # di più.
