Come sono definiti i principali implicati delle formule di corno?

Question

Sono confuso sulla definizione dei principali implicati nelle formule del corno.

Ad esempio nella carta di kira 2012 a pagina 109 è indicato:

Ora nella carta di boros 2010 a pagina 82 la seguente definizione si usa:

Il mio obiettivo è decidere se una formula di corno è Prime o meno in tempo polinomiale. Per questo voglio assumere la definizione utilizzata in Kira 2012.

Come posso dimostrare che le due definizioni di cui sopra per le principali implicazioni di formule di corno sono equivalenti?

Modifica: Quello che ho finora è che se assumiamo la definizione di Kiras e hai ad esempio una clausola $ c=neg x_1 \ vee \ neg x_2 \ vee x_3 $ di formula < Span Class="Math-Container"> $ f $ e $ c $ è primo quindi $ f \ f \ Dockenderow C $ . Se si trascura un letterale in c ottenere $ c_1=neg x_1 \ vee \ neg x_2 $ e ovviamente $ c_1 \ Dockenderow C $ . Pertanto, poiché $ c $ è Prime quindi da Kiras Definizione Nessuna altra sottoclausa adeguata di $ c $ è un implicante così $ f \ nightRarrow c_1 $ . Trascurando più letterali in $ c_1 $ per ottenere $ c_2 $ danno $ C_2 \ RightArdrow c_1 \ RightArrow C $ . Quindi per definizione di $ c $ deve essere quella $ f \ nrightarrow c_2 \ raddopping c_1 $ e noi Ottenere quelle sotto-clausole di $ c_1 $ non è primo se controlliamo che $ c_1 $ non è Prime. Pertanto, per verificare se una formula $ f $ è primo consideriamo ogni clausola $ c $ e trascurare tutti Literals di $ c $ una volta e controlla se la nuova clausola non è privilegiata. Se una clausola è Prime, segue che F non è Prime.

Penso che l'equivalenza per l'altra direzione sia allo stesso modo. Assumere la definizione di boros. Quindi, se consideriamo la clausola $ c $ e rilasciare un letterale arbitrario ottenendo $ c_1 $ che non è Un implicito se $ c $ è Prime Allora $ f \ Nightarrow c_1 $ . Ancora una volta abbiamo ovviamente $ c_1 \ RightArrow C $ e cadendo altri letterali arbitrari in $ c_1 $ a Ottieni $ c_2 $ Nota $ f \ NightRarrow c_2 \ RightArdarrow c_1 $ (altrimenti $ f \ Right Docka c_2 \ Right Docka C_1 $ che è errato dal momento che $ c_1 $ non è implicata). Poiché cadendo i letterali possiamo produrre sotto-clausole arbitrari che si possono seguire anche tutte le sotto-clausole appropriate di c non possono essere prime altrimenti $ f \ reapyraw c_2 \ raddoppia c_1 $ che è una contraddizione. E la definizione di Kiras segue.

Il mio ragionamento è corretto?

Answer 1

Questa equivalenza è un'idea un po 'folcloristica nei documenti sui principali implicanti. Una piccola prova è presentato nella sezione "Definizioni" di questo documento . L'idea alla base dell'equivalenza è quella, se $ c $ non è un implicante principale per $ \ Varphi $ , quindi c'è un sottoinsieme adeguato $ c '$ di $ c $ (identificare le clausole con il set di Letterali che forzano) tale che $ c '$ è un impplice di $ \ Varphi $ . Ma se questo è il caso, puoi riempire $ c '$ con i letterali in $ c \ setmino c' $ fino a quando non ha dimensioni $ | c | - 1 $ , e quindi, si ottiene un implicante $ c $ meno esattamente quello che ti ha letterato "eliminato". L'altra direzione dell'equivalenza è banale: se nessun sottoinsieme appropriato di $ c $ è un impplice, quindi lasciando cadere qualsiasi letterale di $ C $ ti dà qualcosa che non è un implicante.

Non vedo la relazione con le formule di corno, poiché l'equivalenza riguarda le definizioni per i principali implicanti di qualsiasi formula.