Puzzle di sequenza geometrica

Question

Il seguente problema mi ha sconcertato per un paio di giorni (nb: non si tratta di compiti a casa).

Esistono due sequenze geometriche che si sommano a 9. Il valore del loro secondo termine (t2) è 2.

1. Trova il rapporto comune (r)
2. Trova il primo elemento (t1) di ciascuno

Le risposte a (1) sono 2/3 e 1/3 e le risposte a (2) sono 3 e 6 rispettivamente. Sfortunatamente, non riesco a capire come siano stati derivati.

In tackling (1) ho provato ad applicare la sostituzione algebrica per risolvere r come segue:

t2 = t1*r; since t2 = 2 we have:
t1 = 2/r

L'equazione per il calcolo della somma (S) di una sequenza che converge in un limite è data da:

S  = t1 / (1 - r)

Quindi, ho provato a collegare il mio valore di t1 in S e risolvere per r come segue:

9 = (2/r) / (1-r)
9(1-r) = 2/r
2/9 = r(1-r)

Sfortunatamente, da questo punto rimango bloccato. Devo eliminare una delle r ma non riesco a riuscirci.

Successivamente, ho pensato di risolvere per r usando la formula che somma i primi 2 termini (S2) della sequenza:

S2 = (t1 (1-r^2)) / (1-r)
t1 + 2 = (t1 (1-r^2)) / (1-r)

ma espandendolo, mi imbatto di nuovo nello stesso problema (non posso eliminare una delle r).

Quindi ho 2 domande:

1. Cosa sto facendo di sbagliato nel derivare r?
2. Una volta che ho uno dei suoi valori, come posso derivarne l'altro?

Answer 1

  

2/9 = r (1-r)

     

Sfortunatamente, da questo punto ottengo   incollato. Devo eliminare uno dei   ma non riesco a farlo.

Devi imparare a scomporre!

2/9 = r(1-r)
2/9 = r - r^2
2 = 9r - 9r^2
9r^2 - 9r + 2 = 0
(3r)^2 - 3(3r) + 2 = 0

per renderlo più semplice, lascia R = 3r

R^2 - 3R + 2 = 0
(R - 1)(R - 2) = 0

so 3r - 1 = 0, or 3r - 2 = 0
i.e. r = 1/3 or r = 2/3.

E il tuo primo termine è 2 / (1/3) = 6 o 2 / (2/3) = 3

QED!

Answer 2

  

2/9 = r (1 - r )

Riscrivi questo come ax ² + bx + c e usa la formula quadratica per risolverlo:

2/9 = r - r ²
r ² - r + 2/9 = 0

Usando la formula quadratica, le radici sono:
[-1 ± v (1 - 8/9)] / 2
= (1 ± 1/3) / 2
= 1/2 ± 1/6
= 1/3 o 2/3

Modifica: Aw shoot, ho passato troppo tempo a capire come scrivere più / meno e radice quadrata. :-P