Головоломка с геометрической последовательностью

Question

Следующая проблема не давала мне покоя уже пару дней (примечание:это не домашнее задание).

Существуют две геометрические последовательности, сумма которых равна 9.Значение их второго члена (t2) равно 2.

1. Найдите общее соотношение (r)
2. Найдите первый элемент (t1) каждого

Ответы на (1) — 2/3 и 1/3, а ответы на (2) — 3 и 6 соответственно.К сожалению, я не могу понять, как они были получены.

Решая задачу (1), я попытался применить алгебраическую замену для решения r следующим образом:

t2 = t1*r; since t2 = 2 we have:
t1 = 2/r

Уравнение для расчета суммы (S) последовательности, сходящейся к пределу, имеет вид:

S  = t1 / (1 - r)

Итак, я попытался подставить свое значение t1 в S и найти r следующим образом:

9 = (2/r) / (1-r)
9(1-r) = 2/r
2/9 = r(1-r)

К сожалению, с этого момента я застреваю.Мне нужно удалить одну из букв r, но я не могу этого сделать.

Затем я решил найти r, используя формулу, которая суммирует первые два члена (S2) последовательности:

S2 = (t1 (1-r^2)) / (1-r)
t1 + 2 = (t1 (1-r^2)) / (1-r)

но, расширяя это, я снова сталкиваюсь с той же проблемой (не могу устранить одну из букв r).

Итак у меня 2 вопроса:

1. Что я делаю неправильно при выводе r?
2. Если у меня есть одно из его значений, как мне получить другое?

Answer 1

2/9 = r(1-r)

К сожалению, с этого момента я застрял.Мне нужно устранить один из Но я не могу.

Вам нужно научиться факторизовать!

2/9 = r(1-r)
2/9 = r - r^2
2 = 9r - 9r^2
9r^2 - 9r + 2 = 0
(3r)^2 - 3(3r) + 2 = 0

чтобы было проще, пусть R = 3r

R^2 - 3R + 2 = 0
(R - 1)(R - 2) = 0

so 3r - 1 = 0, or 3r - 2 = 0
i.e. r = 1/3 or r = 2/3.

И ваш первый член равен 2/(1/3) = 6 или 2/(2/3) = 3.

КЭД!

Answer 2

  

2/9 = r (1 - r )

Перепишите это как ax ² + bx + c и используйте квадратную формулу для ее решения:

2/9 = r - r ²
r ² - r + 2/9 = 0

Используя квадратную формулу, корни:
[-1 & # 177; & # 8730; (1 - 8/9)] / 2
= (1 & # 177; 1/3) / 2
= 1/2 & # 177; 1/6
= 1/3 или 2/3

Правка . Черт, я слишком долго думал, как написать плюс / минус и квадратный корень. :-P