与えられたサイズの（異なる）回路の数の下限？

Question

$ n $ 入力ビットを備えた回路の場合、関数 $ s $ の場合 $ O（s（n）^ {s（n）}）= O（2 ^ {s（n）\ log s（n）}）$ < / SPAN> SPONのシールドを持つ回路="math-container"> $ s（n）$ 。

2回線 $ c_1 $ と $ c_2 $ は です。計算された関数が異なる場合、つまり $ n $ ビット文字列 $ x $ $ c_1（x）\ neq c_2（x）$ $ O（s（n）^ {s（n）}）$ は、の回路の数に関する上限です。与えられたサイズ。 $ S（n）$ のサイズの異なる回路の数に既知の下限があります。="math-container"> $ s（n）$ （例： $ s（n）\ mathsf {poly}（n）$ 、 $ s（n）\ textsf {Polylog}（n）} $ 、または $ s（ n）= 2 ^ {n ^ \ varepsilon} $ ）？

明らかにそのようなバインドは、 $ Oよりも厳密に小さくなければなりません（S（n）^ {s（n））$ にバインドされているそれでも同じ機能を明確にし、それでも同じ機能を計算する（すなわち、それらは上で定義されたように異なる「異なっていない）」を有する（すなわち、それらは「異なる」とは限りません） - それはどれほど小さいか？

Answer 1

$ 1000 \ leq s \ leq 2 ^ n / n $ をletします。 $ m $ ビットのすべての関数は、size $ o（2 ^ m / m）$ <<<（私は最適な定数さえ知られていると思います）。 $ m $ の値を選択すると、 $ m $ ビットが回路によって計算できるようになります。span class="math-container"> $ s $ 、さらに $ s=omega（2 ^ m / m）$ 。 $ 2 ^ {2 ^ m}= s ^ {\ omega} $ $ m$ ビット、私たちはあなたの上限が非常にきついことがわかります。