ユニークな隣口拡張

Question

塩味Vadhanによるランダム性から問題4.10を解決したい。 https://people.seas.harvard.edu/~salil/CS225 / SPRING15 / PS3.PDF

左expander $ g $ を考える $ d $ すべてのサブセット verticesが少なくとも $ s $ コンテナ "> $（1-¥epsilon）d | $ 隣人。その後、 $ g $ には、 $（1-2 \ epsilon）d | $ ユニークな隣人。 $ s $ からの対応する頂点を正確に持っているユニークな意味。

新しい拡張係数が $（1-2 \ epsilon）d= 2 \ Cdot（1- \ epsilon）d -d $

Answer 1

$ s $ のサブセットになる $ k $ 頂点のサブセットです。 $ a_d $ を右側に接続されている右側の頂点の数： $ d $ vertices $ s $ 。左の程度は $ d $ ですので $$ \ sum_ {d \ geq 1} da_d= d | s |。 $$ $ s $ 以降、少なくとも $（1-¥epsilon）d | $ 隣人、 $$ \ sum_ {d \ geq 1} A_D \ GEQ（1- \ epsilon）d | s |。 $$ したがって $$ \ sum_ {d \ geq 2} a_d \ leq \ sum_ {d \ geq 1}（d-1）a_d=sum_ {d \ geq 1} da_d - \ sum_ {d \ geq 1} a_d \ leq d | s | .. - （1-¥epsilon）d | s |=epsilon d | s |。 $$ それはそれに続く $$ A_1=sum_ {d \ geq 1} a_d - \ sum_ {d \ geq 2} A_D \ GEQ（1- \ epsilon）d | s | - \ epsilon d | S |=（1-2 \εμ）D |。 $$