なぜ数学的証拠はとても難しいのですか？
https://cs.stackexchange.com/questions/128980
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29-09-2020 - |
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私は電気技術者であり、機械学習に移行しようとしています。私は私がデータ構造とアルゴリズムを学ぶ必要がある複数の記事で読みました、この前に数学的証明について学ばなければならない。私はMITのOCWで入手可能な資料を使用して、私はそれを私自身で勉強し始めました、私は誘導とよく命令などの概念を把握しました..
私は非常に長い間演習に苦しんで、本当にイライラする。私が前に見た任意の種類の証明に簡単に対処することができます（例えば、私がそれらを証明するのがかなり良くなったのを見たことがあります）。私が珍しい質問に直面すると私の問題が始まります。私は証明を証明するのではなく、証明を暗記しているような気がします。
私が異常な質問を見たときはいつでも私の証明スキルを向上させることができる方法（または任意のリソース）はあります（チェッカーのタイルやチェスタイルの種類のような質問）私は彼らを見つめる必要はありませんあきらめる前の2時間？
解決
私は証明するのではなく、証明を暗記しているような気がします
あなたはを「証明する方法」を学びます。 「証明」は機械的なプロセスではなく、むしろあなたが特定の問題を解決するための新しい技術をにしなければならない創造的なものです。プロの数学者は、与えられた声明を証明し、決して成功することを試みると、全体の人生を過ごすことができます。
私は私が前に見た任意の種類の証明を簡単に扱うことができます（例えば、私がそれらを提起するのがかなり良くなったことになった。私が珍しい質問に直面したときに私の問題が始まります。
それは正常です。何らかの数学「証明」コースは、あなたが今まで見たことがない恣意的な問題を解決する方法を教えるように設計されていません（誰もがそれをすることができる）。むしろ、あなたの学習目標は
です-
証明を「読み取る」方法を学び、正しさを判断する
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正しい数学的言語で証明を「書き込む」方法を学ぶ
-
既知の証明の「テクニック」とそれらを適用する方法
あなたが新しい、不明な問題に取り組んでいるならば、それを解決できないかもしれないことは普通です。しかし、を知っていて、他の証明手法を記憶したことはあなたを助けるかもしれません。多くの場合、証明は新しいアイデアと既存の既存の証明テクニックと組み合わせることを含みます。もっと、そしてあなたがすでに知っている証明をより様々に変えることは、与えられた問題を解決することができるあなたのチャンスがより良いです。
あなたは正しいトラックにいます。あなたは単に勉強する証明技術を続けるべきです。あなたがやっている演習は良いです。あなたが立ち往生しているなら心配しないでください。あなたがより経験豊富であなたの「ツールボックス」のテクニックが成長するにつれて、あなたはあなたが見た前のものより少ない "似ている演習を解決することができるでしょう。
他のヒント
私は確かにG. Polyaの本を推薦することができます、の解決方法。それは見逃されることはなく、標準の古典です。新しい本の読み方および実行方法：よりアクセス可能なダニエル洋書によって数学的思想プロセスの紹介。
は、証明を行うことは、人間にとって完全に不自然なです。それは私たちが通常使用していない慎重な考えを必要とする規律です。私達は私達の日々と私たちの生活を乗り越えるために多くの仮定をするのに使われています。私たちが彼らの最初のものを正当化しなければならなかったら私たちはベッドから出ることができませんでした。数学的証拠は仮定を奪い、あなたが明確かつ明確に見せることができるものだけに生きます。
三角記録識別情報に対する問題についても同様の問題を抱えていました。既知の学習方法がある場合は、開始から終了まで取得しようとしています。アイデンティティは、方向性をあまりないことがない方向に、未知の方向に複数のステップを必要とするかもしれません。 論理メソッドはかなり制限されていて既知であるため、証明は少し簡単です（本を読む場合）。それを続けてください。
トムの答えが好きです：魔法の弾丸はありませんが、あなたは演習をやり続ける必要があり、徐々にあなたはより良い直感を開発し、問題を攻撃する方法を知っています。
リソースについては、G. Polyaの予約方法を解決する方法。 Wikipedia記事は、素晴らしくやや詳しい詳細な概要を示しています。基本的に、本は数学的声明とその証明に対処するための戦略や方法を提供します。
なぜ数学的証拠がとても難しいのですか？...データ構造とアルゴリズムを学び、
私の推測は、大きなo表記で定量化されたアルゴリズムのスペースと時間の複雑さについて学びたいです。時間の複雑さ、特に、証明が難しい理由でヒント。私があなたに約束された場合、最も長さの与えられた文の証明があります、あなたはそれをどのように見つけますか？理論的には、長さ $ \ le n $ のすべての証明を経験することができます。 "> $ O（ne ^ {cn}）$ （私は $ n $ の要因を読み取り時間に含まれていました）。 $ n $ が非常に小さいじまない限り、私たちの目的にはあまりにも効率的ではありません。はるかに優れたアルゴリズムがあるかもしれませんが、特に効率的な一般的なものを見つけました。それが、物事を証明することは「創造的な」演習であることを証明しています。これは、「そのような思考の仕組みの方は疑似コードでは知らない」という意味です。
私が異常な質問を見たときはいつでも私の証明スキルを向上させることができる方法（または任意のリソース）はあります（チェッカーのタイルやチェスタイルの種類のような質問）私は彼らを見つめる必要はありませんあきらめる前の2時間？
あなたはそのような質問を珍しいと呼びます、それでもあなたは与える例を知っています。それはそこにある問題の核です。あなたがそれを見たことがないならば、あなたの経験の中でのみ「珍しい」だけです。その他の答えとして注意してください。うまくいけば、あなたはどちらが問題を助けるのかを知ることができるはずです。あなたの例の選択で判断すると、証明の不変性の使用はあなたが取り組むことができるものです。私はあなたの大きな/小さいo表記がどれほど優れているかわかりませんが、不平等やそれらに依存するものなどの結果を証明するのがよくあるので、そのトピックは再び役立つので、それが再びそれがよくあります。制限（少なくとも $ \ varepsilon $ - $ \ delta $ の証明）
いくつかの証明は面倒なものでなければならない、他の人は彼らが簡単であるかもしれませんが、著者はそれを書き留めるよりエレガントな方法を思い付きませんでした。シンプルな証拠を育てることは証明を理解するよりもさらに難しいので、彼らがそうであるべきであるよりも多くの証明はもっと複雑です。
証明書の理解方法（エレガントまたはそうでない）の一般的なアドバイスはありません。試行できる技術は、ステートメントを解決することです。なぜ証明が機能しますか？証明のための前提条件の1つを除外するとき、どうなるでしょうか。
プログラミングですでにかなり便利な場合は、 real="nofollownoreferrer">インタラクティブプルーフアシスタントを使用することを学ぶことができます。 / a>コケやリーンのようなものです。 証明アシスタントは、建設的な論理を表現することが可能である非常に豊かな型システムを持つプログラミング言語です。 これらの種類の言語は、プログラムとプログラミング側にその種類と、命題と数学側の証明の間に直接の類推があるという概念に大きく運用されています。 （これは、 Curry-Howard Isomorphism
これらの行の本当に面白いプロジェクトは、自然数ゲーム。 このゲームは、プルーフアシスタントを使用してすべての学部数学を正式化するために、ロンドン帝国大学のいくつかの教授によって大きなプログラムの一部です。 LEAN 。 ゲームの開始時に、あなたは算術演算のPeano Aciquomだけを与えられています.0は自然数であり、自然数の後継者は自然数であり、任意の自然数の後継者はそれ自体に等しくありません。 あなたは通常の述語ロジックと誘導の通常の規則を使うことを許可されています。 ゲームの目的は、追加、乗算、およびいくつかの基本数理論の厳格で正式な証明を思いつくことです。
私はトレーニングによる数学者と同様に電気技師です。私の学部生を完成させた後、私は数学に切り替えられ、ついにそれに激しい博士号を取得しました。私は特に明るい子供だとは言いません。しかし、私はいつも数学が簡単で退屈な退屈でした。しかし、私のお父さんに感謝します。だから私はそれを耐えました。
私はまた、数学が得意であることから自尊心を派生させた（はい、私のような残骸は存在する）。私はおそらくまだやる。
私は漸進的に数学を少なくしたので、私が私の高校を完了した時までに、私はやや怖かったです。私の状況は、私の学部課程の私の最初または2年目の中であなたと同じことと同じであるでしょう。それから私は数学での私の再教育を始めました - 私の通常のEEカリキュラムを犠牲にして参加しました。 EE、とにかく、私のためのケーキ歩きでした。しかし数学は亀裂に非常に難しいナットを証明しました。
私は大学後に私の数学的研究を続け、数学プログラムに入学し、長く、激しく、欲求不満の闘いが私の博士号を完成させた。
あなたが見ている数学の分野を知りません。しかし、私はオンラインリソースやゲストの講義を数学に入れることを示唆しません。そのようなことはあなたに理解の錯覚を与えるだけです。あなたは本を拾うためにを持っているでしょう。あなたはペンを拾うためにを持っているでしょう。そして、あなたは書き込みを開始するためにを持っているでしょう。そして、あなたも難しい方法を学ぶでしょう、のみの難しい方法です。あなたが物事と議論する人がいるならば、素晴らしい！それ以外の曖昧さで苦労しています。
始めに、あなたに適した本の最初の本を得るために誰かに話しかけてください。休んであなたは自分自身を理解することができます。
他の誰もこれを言及していないと信じられないが、あなたが応用された機械学習を学びたいのであれば、あなたはおそらくそれを過剰に過剰にしています。あなたは線形代数、そして基本的なコンピュータサイエンスを磨き上げるのが良いでしょう。Coursera - 特に機械学習トラックのための機械学習と数学にはいくつかの素晴らしい専門分野があります（コストがあるが、それぞれのコースが無料で個別に監査することができる - 2つの専門分野の間に約8人が存在することができます）。Andrew NGの深い学習専門化（5コース）も素晴らしいです。それからKaggleにサインアップして、あなたが学んでいることを適用してください。私は個人的には厳格な証明を派生させる方法を知りたいが、誰もあなたにそれを払っていることをあなたに支払っていないことを知っています。あなたは実際に機械学習を勉強しているのが好きです。
私は非常に長い間演習に苦しんでいて、 本当にイライラする。私は私が私の証明の種類を簡単に扱うことができます 前に見た（例えば、私が繰り返し質問の証明を見たら 証明するのがかなり良いようになりました）。私の問題は私がAnに直面したときに始まります 珍しい質問。私は私が証明を暗記しているような気がします 証明する方法を学びます。
それであなたは証明の読み方を知っていますが、あなたはこれらのものを難しいと思います。私はおそらく関連性があることがあると思います。
1つは、異なる数学的教科書で要求される能力の違いが指数関数的であり、線形ではありません。私は「xの紹介」と題された本を見ました。著者は異なる視聴者を念頭に置いており、難易度のレベルはそれに対応して異なります。
第二に、あなたが特定の地域の概念と証明にもっと慣れたら、彼らはより簡単になるでしょう。他の答えのいくつかが示すように、証明はしばしば著者が意図された聴衆にとって明らかだと思う措置を求めることが多い。私たちのどれも、2つのプラス2が4に等しいことを指摘することを証明しないでしょう。 1人の読者が完全に不思議なことを見つけるものは、他の読者のための $ 2 + 2= 4 $ のようなものです。それは本や記事があなたのためではないという意味ではありません。あなたが行方不明のステップを通して仕事をすることができれば、あなたは主題をより深く理解するでしょう、そしてあなたがそれを数回すると、困難なことが簡単になるでしょう。 （少し難しすぎる本の証明は運動のようなものです。）
第三者、私は2時間の証明を見つめたくないかどうかを理解していますが、その期間中はたくさん学んでいるかもしれません。その間に行っていることは、概念とステップのさまざまな解釈を通して、あるステップから別の一歩へと到達する可能性のある方法を考えて、著者が何を念頭に置いているのかを考えています。それは学習過程であり、それが後で他のものを理解するのに役立つことをすると思います。
私は私には慣れていない科目で多くの自習をしています。ある本で省略されているのは、もう一方の本に省略されているのですが、1つの主題に2つか3本の本を使うことがあります。著者は彼らの読者がすべてのバックグラウンドを持っていると想定しているので、私は他の科目で本を読み、本を読む必要があることがわかります。それは必ずしも私が他の主題の本全体を読むことを意味するわけではありません。私は本当に理解したい本を理解できるように十分なだけ読んだことがあります。これは悪い練習ではありません。私は学習に興味がなかったことを学ぶことになりましたが、後で有用であることが判明しました。
（たぶんは明らかなように思われるかもしれませんが、うまくいけばここでは誰かに役立ちます。）
あなたの問題のように聞こえますが、一般的な論理推論の経験がないということです。あなたが前に見た証拠を適応させることによって同様の定理を容易に証明することができるという事実は、証明の理解に問題がないことを示しています。しかし、私はあなたが一次論理適切に学んだことがないと思われます。これは、実際の数学的推論の必要な成分です。あなたが（私がフィッチスタイルを推薦することをお勧めします）演繹的なシステムを学ぶと、それは実際には彼らが完全に新しいであっても数学の恣意的な領域に対処しやすくなります。しかし、新しいプログラミング言語を学ぶために入れる必要がある努力の約半分の費用があります。だから私は試しているかどうかを決めることをあなたに残します。
学習とは無関係に、練習のための情報源も必要であり、
