하위 합계는 문제에 대한 순열

Question

주어진 순열 $g_1,\,\ldots,g_m\에 S_n$ 의 크기 $n$ 과 목표 en $g\에 S_n$, 결정가 존재한다면 하위 집합의 $\{g_1,\,\ldots,g_m\}$, 는 구성에서 어떤 순서(또는,또는 변형으로 이 문제의 같은 순서로)와 같다 $g$, 즉 $g_{i_1}\circ g_{i_2}\circ\cdots\circ g_{i_k}=g$.

이것은 실제로 하위 집합이 문제 합계, 하지만, 대칭 그룹 $(S_n,\circ)$ 대 $(\mathbb{Z},+)$.

질문:

1. 가 알려진 해결책에 다항식 시간입니까?
2. 그렇지 않으면,이 문제로 알려져 있 NP-complete?

내가 발견했는지에 배낭에서 문제를 그룹, 그러나,이러한 결과가 될 것으로 보인 적용에 대한 대칭 그룹입니다.

Answer 1

이 문제는 내가 일부-파마-합계,은 NP-complete.회원가 쉽습니다:guess 하위 집합이 임하고 그런 다음 확인합니다.

위도 경도 하나 줄일 수 있습에서 3CNF-에 앉아 매우 유사한 방법으로 표준의 증거를 위한 경도 하위 집합이다.

자 $\varphi$ 입력식 $v$ 변수와 $c$ 절입니다.우리는 것입니다드 인스턴스의 하위 집합이-파마-해 합계 $S_{2v+4c}$.모든 변수에 대한 우리가 구축 $2$ 순열(중 하나를 나타내는 변수 중 하나를 나타내는 것입니다 그들은 부정),그리고 모든 절 우리가 구축 $2$ 순열니다.

각 절 $C_j,1\배경 j\배경 c$ 우리는 연결 $4$ 요소: $2v+4j-k$ 대 $0\배경 k\배경 3$.축 $2$ 순열에 관련된 조항을 우리는 단순히 사이클에 관련된 요소입니다.즉, $$p(C_j)=(2v+4j-3,2v+4j-2,2v+4j-1,2v+4j)$$ (추가 $2$ 의 인스턴스 $p(C_j)$ 를 설정 우리를 찾고 싶어 하위 집합을 합니다.)

을 고려 $i$-일변수 $x_i$, 과 그와 연관 요소 $2i-1$ 고 $2i$ 의 $S_{2v+4c}$.를 구축 en $p(x_i)$ 의 변수 $x_i$ 단순히 스왑 관련 요소($2i-1$ 고 $2i$고),곱 en 의 각 절에 포함되어 있습니다.그런 다음에 사이클 표기법을 작성할 수 있습니다:$$ p(x_i)=(2i-1,2)\prod_{j|x_i\에 C_j}p(C_j) $$

고려는 지금 multiset $M$ 는 연합의 $p(x_i)$ 고 $p(\바{x_i})$ 고 두 번씩 $p(C_j)$.

우리의 목표 en $t$ 로:

$$ t=\prod_{i=1}^v(2i-1,2)\cdot\prod_{j=1}^c p(C_j)^3 $$

구: 이 있는 부분 집합 $X$ 의 $M$ 을 구성하는 대상에 대 en $t$ (나에게 쓰기 $p(X)=t$ 는 경우)및 경우에만 $\varphi$ 은 satisfiable.

가정 등 $X$ 이 존재한다면 우리는 알 $X$ 담고 정확하게 하나 밖의 $p(x_i)$ 고 $p(\바{x}_i)$, 으로,그것은 위한 유일한 방법의 조성 $X$ 을 포함 주기 $(2i-1,2)$.또한,우리가 볼 수 있는 각 절 $C_j\\에서 varphi$, 에,적어도 하나의 경우 변수를 만족하는 그것을 갖 $p(C_j)^3$ 에 $p(X)$ 우리가 필요 포함 $p(\ell_i)$ 는 리터럴 $\ell_i$ 에 $C_j$.참고는 두 개의 인스턴스 $p(C_j)$ 에 $X$ 는 충분하지 않습니다.따라서,과제의 변수를 만족하는 모든 절입니다.에 대한 방향을자 $\sigma$ 다 만족 할당 $\varphi$.는 경우 $\sigma(x_i)=1$ 그런 다음 우리는 하자 $X$ 포함 $p(x_i)$ 고 그렇지 않으면 우리는 그것을 포함 $p(\바{x}_i)$.에 대한 각 절에 $C_j$, 우리가 알고 있는 사 $0\배경 r_j\배경 2$ 변수가 그것에는 만족하지 않으로 $\sigma$, 고 우리는 추가 $r_j$ 의 발생을 $p(C_j)$ 하기 $X$, 므로,이 방법 $p(X)$ 이 포함됩 $p(C_j)^3$.그것은 분명 그의 조성 $X$ equals $t$.

Answer 2

하위 집합은 합계는 문제입니다도 열심히(NP-하드)에 위한 특별한 그룹 포함할 수 있습으로 $S_n$.보 종이 연결에 문제가 설명입니다.

$ extbf{관찰}$ $g$ 할 수 있습 writtens 로 요소의 조합 $\{g_1,\ldots,g_k\}$ 는 경우에만 $g\\에서 langle g_1,\ldots,g_k angle$.가정에서는 각각의 $g_i$ 이 나타날 수있는 어떤 숫자의 번입니다.

문제의 복잡성에 따라 달라집 입력 표현입니다.두 가지가 있는 두 개의 가장 일반적으로 사용되는 방법,케일 테이블을 생성하는 설정합니다.에 대한 테이블에 케일시 이 논문에 대한 결과입니다.읽 CGM(케일리 회원제) 링크

$ extbf{CGM}$

$ extbf{입력:}$ 그룹 $G$ 에 케일,테이블 $X\subseteq G$ 고 $t\G$.

$ extbf{출력:}$ 가 $t$ 에 속하는 부분군 $\langle X angle$ 에 의해 생성 $X$?

에서 일반적인 문제에서는 대칭 로그 공간입니다.

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$\langle A angle$ 수단위 그룹에 의해 생성 $달