무작위 알고리즘 : 높은 확률 대 기대

Question

잘하면이 질문은 너무 일반적이지는 않지만 높은 확률과 기대에 잘 수행되는 무작위 알고리즘 사이에 관계가 무엇인지 궁금해하고있었습니다. 내 질문은 무작위 $ \ alpha $ 의 정의에 의해 동기 부여됩니다. - 여기서 입니다. 확률이 높을수록 또는 또는 의 $ \ alpha $ . 나는 또한 이 소스 높은 확률 대 기대 접근법에 대한 좋은 통찰력을 제공하지만 여전히 질문이 있습니다.

• 는 $ \ alpha $ 을 달성하는 알고리즘을 항상 변형시킬 수 있으며,이를 높은 확률로 달성하는 것으로이를 달성하는 것으로 예상되는 승인을 얻을 수 있습니다. (표면적으로 알고리즘 다중 [다항식 숫자])
• 그렇지 않은 경우, 다른 것보다 더 열심히 하나 더 어렵습니까? ( $ \ alpha $ 을 수정하면 높은 확률 알고리즘은 항상 존재할 가능성이 없거나 항상 찾을 수 없을 것입니다. 하나이지만 근사 비율이 악화 될 것입니다.)

도움말 주셔서 감사합니다!

Answer 1

$ \ alpha $ 인 알고리즘이있는 경우, 기대에있는 승인을 얻은 다음 $ (1+ ePsilon) \ alpha $ - 어떤 $ \ epsilon> 0 $ 에 대해 높은 확률을 가진 승산증. 특히, 마르코프의 불평등에 의해, 알고리즘을 실행 한 다음 적어도 $ 1-1 / (1+ ePsilon) $ 의 확률로 확률로 $ (1+ ePsilon) \ alpha $ - 승인 됨. 따라서 $ (c \ log n) / ε $ 시간을 시간을 실행하고 모든 재판에서 최상의 출력을 유지하면 $ 1-1 / n ^ c $ $ (1+ epsilon) \ alpha $ 을 찾을 수 있습니다. .

$ \ alpha $ - 높은 확률로 인해 승인을 얻은 알고리즘이있는 경우 기대에 대한 보증이 없습니다. 매우 작은 확률 (확률 $ 1 / n ^ c $ )을 사용하면 매우 나쁜 솔루션 (기하 급수적으로 큰 근사 팩터가있는 것)을 출력 할 수 있습니다. 사례 $ \ alpha $ 을 출력합니다. 이 경우, 이러한 나쁜 솔루션을 출력 할 확률이 매우 적지 만, 근사 인자의 예상 값은 매우 크지 않습니다.