Рандомизированные алгоритмы: высокая вероятность против ожидания

Question

Надеюсь, этот вопрос не слишком общий, но мне было интересно, каковы отношения между рандомизированными алгоритмами, которые хорошо работают с высокой вероятностью и теми, которые работают хорошо в ожидании. Мой вопрос мотивирован определением рандомизированного $ \ alpha $ алгоритма - предприцебления, приведенный здесь , а именно то, что это алгоритм полинома, который производит решение в $ \ alpha $ of ждать ожидания или с высокой вероятностью. Я также обнаружил, что первые несколько страниц Этот источник предоставляет некоторое хорошее понимание высокой вероятности против ожидания подходов, но у меня все еще есть вопросы.

.
• Вы всегда можете преобразовать алгоритм, который достигает $ \ alpha $ - предприцеление в ожидании того, что достигает этого с высокой вероятностью, а наоборот? (Якобы, перезагружая алгоритм множественного [многочленного числа] раз.)
• Если нет, это сложнее, чем другое, чтобы получить? (Я бы подумал, что если вы исправите $ \ alpha $ , высоко вероятный алгоритм всегда будет сложнее найти / менее вероятно, чтобы существовать. Или, может быть, вы всегда можете найти один, но соотношение аппроксимации станет хуже.)

Спасибо за помощь!

Answer 1

Если у вас есть алгоритм, который является $ \ alpha $ - предвосртиредность в ожидании, то вы можете построить алгоритм, который является $ (1+ \ epsilon) \ alpha $ - предприцеление с высокой вероятностью, для любого $ \ epsilon> 0 $ . В частности, путем неравенства Маркова, если вы запустите алгоритм, то с вероятностью, по меньшей мере, $ 1-1 / (1+ \ Epsilon) $ он выводит <класс SPAN= «Математический контейнер»> $ (1+ \ Epsilon) \ alpha $ - предприцеление. Таким образом, если вы запустите алгоритм о $ (C \ log n) / \ Epsilon $ Times и сохраните лучший выход среди всех этих испытаний, с вероятностью $ 1-1 / n ^ c $ Вы найдете $ (1+ \ epsilon) \ alpha $ - предприцеление ,

Если у вас есть алгоритм, который является $ \ alpha $ -aproximation с высокой вероятностью, нет никаких гарантий по поводу ожидания. Возможно, что при очень небольшой вероятности (вероятность $ 1 / N ^ C $ ), он выводит чрезвычайно плохое решение (один с экспоненциально большим фактором приближения), а во всех других Шкафы, которые он выводит $ \ alpha $ - предприцеление. В этом случае ожидаемое значение фактора приближения будет очень большим, даже если он имеет очень небольшую вероятность вывода такого плохого решения.