불평등이 모든 양의 정수를 보유하고 있음을 보여줍니다

Question

$ A_1= 2, a_2= 9, a_n= 2a_ {n-1} + 3a_ {n-2} $ $ n>= 3 $

$ a_n <3 ^ n $ 모든 양의 정수에 대해 n

기본 경우 : $ a_3= 2 * 9 + 3 * 2= 24 <= 3 ^ 3 $ 은 true

가설 : $ a_k <= 3 ^ K $ $ k \ epsilon \ mathbb {n} $ , SHOW $ A_ {k + 1} <= 3 ^ {k + 1} $

시작 :

$ a_k <= 3 ^ k $ 은 $ 3a_k <= 3 ^ {k + 1} $

정의 : $ A_ {k + 1}= 2A_K + 3A_ {k-1} $

$ 2a_k + 3a_ {k-1} <= 2a_k + a_k= 3a_k <= 3 ^ {k + 1} $

$ 3a_ {k-1}= 2A_ {k-1} + a_ {k-1}= 2a_ {k-1} + 2a_ {k-2} + 3A_ {K-3} $

$ 3a_ {k-1} $ 3a_ {k-1} $ 은 $ a_k $ 보다 더 작아집니다. class="수학 용기"> $ 2a_ {k-2} + 3a_ {k-3} $ 은 항상 $ 3a_ {k-2} $ < / span>

$ A_ {k + 1} <= 3A_K $ 및 $ 3a_k <= 3 ^ {k + 1} $ 그런 다음 $ A_ {k + 1} > $ a_n <= 3 ^ n $ 모든 n

가 내 증거 합법입니까?

Answer 1

우리는 $ a_k \ geq 3a_ {k-1} $ $$ A_3= 2A_2 + 3A_1= 2 \ CDOT 9 + 3 \ CDOT 2= 24 <3 \ CDOT 9= 3A_2 $$

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모든 $ k $ 에 대해 $ A_K <3 ^ K $ 에도 없습니다. $ A_2= 9= 3 ^ 2 $ 이후 그건 아마 오타 야.

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모든 자연 $ k $ 우리는 $ a_k \ leq 3 ^ k $ .

$ A_1= 2 \ LEQ 3= 3 ^ 1 $ .

$ a_ {k-2} \ leq 3 ^ {k-2} $ 및 $ a_ { K-1} \ LEQ 3 ^ {K-1} $ . 또는 모든 $$ \ begin {Align} A_K &= 2A_ {K-1} + 3A_ {K-2} \\ & \ leq 2 \ cdot 3 ^ {k-1} +3 \ cdot 3 ^ {k-2} \\ &= 3 \ cdot 3 ^ {k-1} \\ &= 3 ^ {k} \ end {정렬} $$

따라서 $ a_ {k} \ Leq 3 ^ {k} $ .

모든 자연 $ k $ 우리는 $ a_ {k} \ Leq 3 ^ K $ .