Prove encontrar K DISJOINT SHOTS de N Dados caminhos em um gráfico dirigido é NP-COMPLETO

Question

Problema: dado n caminhos em um gráfico dirigido g (v, e) e um inteiro k, descubra os caminhos k entre eles, de modo que nenhum deles passe por um nó comum.

Prove que o problema dado está em np-completo.

Eu fui capaz de provar que o problema está no NP.Dica é que precisamos chegar a uma redução de tempo polinomial do problema independente para este problema provar que ele está em NP-Hard.

Answer 1

Sócio do seu problema em $ \ mathsf {np} $ é trivial. Para provar que também é $ \ mathsf {np} $ - considere uma instância de (a versão de decisão do) Conjunto independente que consiste em um gráfico $ g= (v, e) $ com $ | v |= n $ e de uma matemática inteira $ k $ .

Construa o gráfico $ h= (v ', e') $ onde $ v '= v \ cope \ {x_ {u, v} \,: \, (u, v) \ in e \} $ e $ e '= v' \ vezes v '$ < / span>.

para cada $ u \ in v $ deixe $ v_1, v_2, \ pontos, v_h $ Seja os vizinhos da $ u $ em $ g $ e defina o caminho $ p_U=langle u, x_ {u, v_1}, x_ {u, v_2}, \ pontos, x_ {u, v_h} \ rangle $ na $ H $ . Deixe $ \ mathcal {p}={p_u \,: \, u \ in v \} $ .

Há um conjunto independente de tamanho no máximo $ k $ na $ g $ , se e Somente se houver um subconjunto $ \ mathcal {p} $ com $ | \ mathcal {p} '| \ le k $ De modo que os caminhos na $ \ mathcal {p} '$ são parexas emparelhados-disjoint.

Mais precisamente, se $ s $ é um conjunto independente de $ g $ , então $ \ {p_u \,: \, u \ in s \} $ é uma coleção de caminhos de vertex-disjuntos em parexas em $ h $ e, se $ \ mathcal {p} '$ é uma coleção de caminhos de vertex-vertex-disjunt na $ H $ , então $ \ {U \ \,: \, p_u \ in \ mathcal {p} '} $ é um conjunto independente de < span class="contêiner matemático"> $ g $ .