Mostre que a desigualdade é válida para todos os inteiros positivos

Question

$ a_1= 2, A_2= 9, A_N= 2A_ {n-1} + 3a_ {n-2} $ para $ n>= 3 $

show $ a_n <3 ^ n $ para todos os inteiros positivos n

Caso Base: $ a_3= 2 * 9 + 3 * 2= 24 <= 3 ^ 3 $ é verdadeiro

hipótese: $ a_k <= 3 ^ k $ para $ k \ epsilon \ mathbb {n} $ , show $ a_ {k + 1} <= 3 ^ {k + 1} $

Begin:

$ a_k <= 3 ^ k $ implica $ 3A_K <= 3 ^ {k + 1} $

Por definição: $ a_ {k + 1}= 2a_k + 3a_ {k-1} $

$ 2A_K + 3A_ {k-1} <= 2A_k + a_k= 3a_k <= 3 ^ {k + 1} $

Porque $ 3A_ {k-1}= 2A_ {k-1} + a_ {k-1}= 2a_ {k-1} + 2a_ {k-2} + 3a_ {k-3} $

$ 3A_ {k-1} $ sempre será menor do que $ a_k $ porque $ 2A_ {k-2} + 3a_ {k-3} $ é sempre menor do que $ 3A_ {k-2} $ < / span>

Então, porque $ a_ {k + 1} <= 3a_k $ e $ 3A_K <= 3 ^ {k + 1} $ então $ a_ {k + 1} <= 3 ^ {k + 1} $ que comprova $ a_n <= 3 ^ n $ para todos n

é a minha prova legit?

Answer 1

Não vamos provar que $ a_k \ geq 3a_ {k-1} $ porque não é verdade: $$ A_3= 2A_2 + 3A_1= 2 \ Cdot 9 + 3 \ Cdot 2= 24 <3 \ Cdot 9= 3A_2 $$

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Também não temos $ a_k <3 ^ k $ para todos $ k $ , Como $ a_2= 9= 3 ^ 2 $ . Isso é provavelmente um erro de digitação.

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Vamos provar, por indução, que para toda a classe span $ k $ temos $ a_k \ leq 3 ^ k $ .

Temos que $ a_1= 2 \ leq 3= 3 ^ 1 $ .

Suponha que $ a_ {k-2} \ leq 3 ^ {k-2} $ e $ a_ { k-1} \ leq 3 ^ {k-1} $ . Ou você pode assumir que $ a_t \ leq 3 ^ t $ para todos $ t . < / p >.

então $$ \ begin {alinhar} A_K &= 2A_ {k-1} + 3a_ {k-2} \\ & \ leq 2 \ cdot 3 ^ {k-1} +3 \ cdot 3 ^ {k-2} \\ &= 3 \ Cdot 3 ^ {k-1} \\ &= 3 ^ ^ {k} \ final {alinhar} $$

Portanto, $ a_ {k} \ leq 3 ^ {k} $ .

por indução, para toda a classe natural $ k $ temos que $ a_ {k} \ leq 3 ^ k $ .